HO ER DOI ENORME LU

3a° + 4Qa + Qb— 3Rb + Q° = 6... (2),

l'équation 2 + Ax° + Br + C—=o se réduit à m+C—=o, d'où x——Y C. \ La quantité C sera connue lorsqu'on aura déterminé a et b, ce qui est facile, puisque, d’après l’équation(1),ona fe de

XAAFP qui, mise dans Récs (2) , la change en

Qb* — 5Rb — +9 —=0,

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 151 équation du second degré, dont la solution donnera la valeur de à. Je ne m'’arrêterai pas à développer l’expression de C, ni à tirer les diverses conséquences qui résultent de cette théorie; mais on suppléera facilement aux détails que j’omets.

Lorsqu'on a déterminé a, b etx, il ne faut pas prendre indistinctement pour y l'une quelconque des racines de l'équation y°=x + a + by; mais on doit, d’après ce qui a été dit n° 192 des Ælémens , chercher le diviseur commun qui existe alors entre cette équation et la proposée, Ou, ce qui revient au même, substituer les valeurs de a, de b et de x dans l'expression

ME 22 x 0 à VAR b(x+a) +R ITTMEPFQ Hat + Q qui a servi à l’élimination de y.

74. En passant au quatrième degré, le même procédé s'applique de deux manières différentes; savoir, en changeant l'équation

QD nor

en une autre où les termes affectés de la troisième et de la première puissance de l’inconnué aïent disparu, et qui par là soit résoluble à la manière de celles du second degré (Elém. , 160), ou bien, comme pour lés degrés précédens, en transformant l'équation proposée de manière que la résultante puisse être réduite à son premier et à son dernier terme.

Dans le premier cas, on n’a que deux termes à faire disparaître ; il suffit donc de combiner l’équation

J'+Py + QY+Ry+S—o avec l'équation = x+ a+ by.

En effectuant les calculs nécessaires pour obtenir l'équation RE ER CD = 6 et posant ensuite

Ve Mir ©, Ciexi0 ñ on aurait

xi+ Bx°+ D = o.

L’équation 4 — o serait encore du premier degré ; par rapport aux indéterminées a et b; mais l'équation C—o monterait au troisième : aînsi la #solupton de l’é équation proposée se trouverait ramenée à celle d’une équation du troisième degré, et d’une autre du second. Connaissant a, b et x, on trouverait y, comme dans le numéro précédent.

Pour changer l'équation

| Je PRE OY, +Ry+S—=0 en une autre qui n’ait que deux termes, 1l faut en faire évanouir trois, et l'analogie conduit à poser l'équation

| ÿ=xz+a + by +ocy’, c pa + ï .% a 1 À renfermant trois indéterminées a, b et c. Le résultat

de l'élimination de y entre cette Rs et la proposée étant toujours désigné par

at Aa + Ba? + Cx +- D=0, on fera

MA 0, ab 0H RON

ce qui donnera xt + D =o, “ mais les indéterminées a, b et c se trouvañt au premier degré dans 4, au deuxième dans B, au troisième dans C, l'équation d’où dépend Ja valeur de l’une d’elles

DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 155 montera au sixième degré (14) , et sera donc en général plus difficile à résoudre que la proposée elle-même : cependant Lagrange a prouvé qu'elle pourrait encore se ramener à une autre du troisième degré.

75. Quand la proposée sera du cinquième degré, il faudra nécessairement la changer en une autre qui n’ait que deux termes, et pour cela en faire disparaître quatre dans la transformée; mais la recherche des indéterminées conduira alors à une équation finale d’un degré beaucoup plus élevé que la proposée, et la méthode de Tschirnaus, de même que toutes les autres méthodes connues, échoue au-delà du quatrième degré.

Tout ce qu’on en peut conclure, c’est la manière de faire disparaître autant de termes qu’on voudra d’une équation quelconque ; car il est facile de généraliser cette marche, et de reconnaître qu'en prenant l’équation subsidiaire

= 2 + a+ bY EH Ye TE QU,

on changera l'équation générale

Y'H PT + OQÿ 7... +Uy+T=o

en une autre

x" + Aït Æ Br" ..,.+ L=o,

dans laquelle on pourra faire disparaître un nombre de termes égal à m, au moyen des m quantités indéterminéesa,b,c,.:..q.

76. Le second moyen, par lequel je ierminerai ce que j'ai à dire sur les équations, dérive de celui qu'on attribue à Cardan, ou du moins qu’on employa d'abord pour retrouver l'expression qu'il avait donnée de la première racine de l'équation du troisième degré sans se-

154 COMPLÉMENT cond termé, moyen que Lagrange a étendu aux équations du quatrième degré (*).

Sil'on fait æ—y+7z, il vient

2 = ÿ° + 3y°z + 3yz° + 7°,

tésittat qu'on peut mettre sous la forme —3y:(y +2)—(y+2)=0,

et qui se chaïge en

— 3y2x — (ÿ° +2) SO), quand on y remplace y<z par sa valeur x; compa- . rant alors cette équation avec |

24 pr +g—=oO,

on en conclut

= 82) Qj=—ÿ — ii.

La première de celles-ci donnant

ÿ y:=—Ë et PE on a |

Y+si—=— 7 3,3 Vu RRE