Y FT
et il suit de la théorie de la composition des équations , que y et z° seront les racines d’une équation du second degré , ayant g pour coefficient de son second terme ,
É 1 et — n pour son dernier. Si & + gt — mes N'iee O0 Des
présente cette équation , et que Zet B soient les valeurs
(*) Voy. les S'éances de l'Ecole Normale (t. II, p. 306), are édit.), et le Journal de l'Ecole Polytechnique (7° et 8e ca= hiers, p. 237). Les calculs de ces transformations ont été depuis un peu simplifiés dans l’enseignement de la dernière école , et forment le procédé le plus simple et le plus court pour arriver à la solution des équations du troisième et du quatrième degré,
Û Gr à Sin
de t, on aura y=V'A et z—ŸB. Les diverses expressions de ces racines satisferaient dans un ordre quelconque aux équations
8 up. » 1323 P
D = — et = — — ;
5 ha s q j 27
mais la sai de ces équations est plus générale que
V2 =— £ d'où elle a été tirée : c’est donc dans celle-
ci qu’il faut substituer les valeurs de y pour obtenir celles de Z, ou, ce qui revient au même, il faut combiner chacune des expressions
LE 5 WMA FUME V4, aŸA, V4;
avec les suivantes, E Fine FR 8 AR VB, aVB, d° VB; | 3
de manière que le produit se réduise àf/ 4B, ce qui ne fournit que ces trois résultats :
ea 50 VA+ VB, 8 Eat
a VA +æÿB, ten CA VW À + «VB.
Il est facile de voir qu’en mettant pour « et «? les valeurs données dans le n°159 des £lémens, et pour 4 et B celles qui résultent de l’équation #?+-qt—-p*—0, on retombera sur lés expressions obtenues dans le n° 19.
Je rappellerai, à cette occasion, que lorsqu'on élève une équation à une puissance, ou qu’on la multi-
plie par un facteur où se trouve l’inconnue, on introduit ‘de nouvelles racines étrangères à la question proposée.
77. On a résolu l’équation du troisième degré. ...: x°+pr+q—0, en supposant x — y+ 2; on résout celle du quatrième degré xt + px? gx +r—o d'une manière analogue, en faisant x—=u + y +2; car il faut ici trois indéterminées, à cause que l'équation à résoudre a un terme de plus.
De la supposition de x—=u+y+z, il résulte = (u+y+z) =u + y +2 H+ouy + auz + 2yz, ce qu’on peut mettre sous la forme
D? — Qu + ÿ° + 27) = o(uy + uz + ÿ2); élevant encore une fois au quarré , il viendra at 22° (0° +27) up +2) = Au Hurt y)"; développant ici le second membre seul, on trouvera AGuy+uzty2) —=4(uy +uz +52) +8 (1°yz+uy°zHuyz*) —A4(u°y"+u°z +42) +-Buyz(u+y +2) ; et remplaçant + y + x par sa valeur x, on aura l’équation xi— 9 (n° + y + 2°) x° — Suyzx
+ (u° + y°+ 2°)? — A(u°y° + u°2°+ y°2°) te dont la comparaison avec la proposée donnera les équations
p—=—92(u+y"+z), q — — 8uyz,
Si l’on met dans la dernière ,.au lieu de ° + y +2,
sa valeur — : tirée de la première, on aura
= — 4 (y + az + Ya);
d'où l’on conclura , en prenant le quarré de uyz dans la
| DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE,. 157 . deuxième, les trois nouvelles équations
LH y Hz —=— Ë,
2 a r2 2» 2 252 p° r u°y° + u°2° + y? Gé APE Mie: (1
uYyz 7 64
dont la première donne la somme des quarrés des inconnues w, y, 3, la seconde celle dés produits de ces quarrés combinés deux à deux, et la dernière le produit de tous les trois. En se rappelant la composition des équations (Elém., 183), on voit bientôt que si l'on regarde les | quantités u”, y” et z*comme les trois valeurs d’une même . inconnue # , cette inconnue dépendra de l’équation
P ( p° 7) Ci . BL -E ——-)t- 5 —=o.
MORE Ue 76 Désignant par /, m et n les trois racines de cette - équation , on aura
A M LOIRE Da E d'où | ed al VA 4 y=EV mn, 2=+4/n,
et par conséquent,
x=+ylEVmEVn.
Cette formule, dans laquelle on peut combiner comme on voudra les signes , équivaut par là aux suivantes :
+ VIE men, | 2 mr, a=+V IV m—Vn, | a==VItV m+ya, a VI-V/m4V/n, | a+ y/m4+ Va, a——V1+V/m—Vn, | a+ ma,
et semblerait donner huit valeurs pour l’inconnue x,
qui n’en peut avoir que quatre ; mais en remontant plus haut, on verra que les valeurs de u, y et z doivent satisfaire à l'équation g = — 8uyz, dont on n’a employé que le quarré. Il faudra donc combiner les signes des valeursu—+y 1, y=+V/m,z=#Vn,de manière que leur produit soit d’un signe contraire à celui de q, ce qui doit se faire comme dans le n° 34.
Si, dans l'équation
er (DE
. $ LA L la] ” l’on fait t—-, les fractions disparaîtront par la réduc-
tion de tous les termes au même dénominateur , et il viendra
SŸ + 0ps® + (p°— 4r}s—q =0o,
réduite semblable à celle que l’on a trouvée en z, dans le n° 20. On se convaincra facilement aussi, que les valeurs de x rapportées ci - dessus 'ACUOrdent avec celles qu’on déduirait des résultats du même numéro.
Du développement des puissances fractionnaires et négatives en séries.
78. On a vu, dans le n° 235 des Elémens , la division , prolongée indéfiniment , donner naissance à une suite infinie qui exprimait , en termes monomes, le développement d’unefraction; et dans le n° 267, j' ÿ ai annoncé que l’extraction des racines conduirait aussi à des séries, Pour offrir un exemple de ce’ dernier Ca, je vais ex= traire Ja racine quarrée de a? + b?, À
etc.
La racine quarrée du premier terme étant à, il reste b°; . * ° | . b? 4 qu'il faut diviser par 2a , et écrivant le quotient — à
je b?
côté de a, à la racine, on aura a RE pour les deux pre- (#4
4 | t b4 miers termes de cette racine, et — -— pour le reste;
4d 1 b2 doublant la racine trouvée , on a 2a + To et divisant
le reste — Le: par 2, on aura un quotient —2", , qui sera le troisième terme de la racine. On vérihiera ce terme suivant la règle ordinaire, et on aura un reste b5 b8 À Sa 64?
précédens.
sur lequel on opérera comme sur Îes
Il serait aisé d’imiter cette opération pour extraire la racine d'un degré plus élevé ; mais en considérant les racines commedes puissances fractionnaires , on les déduit plus simplement de la formule du binome, telle qu'elle est présentée dans le n° 144 des ÆElémens.
En effet, si l’on change W/a°Æ D? en (a° + b°);, et
que l’on fasse m=—% dans Ja formule citée , puis qu'on
y écrive a° pour x, b? pour a ; il viendra, comme ci-
dessus ,
———— b? b4 b5 V/a + b LP mn Ur + Véns eip
Cet exemple suffit pour montrer le parti qu'on pourrait tirer de la formule du binome, si l’on était assuré qu’elle eût lieu, quel que fût l’exposant m, ce qu'on ne saurait conclure de la manière dont on y est parvenu dans les Æ/émens, puisqu'elle suppose que m est nécessairement un nombre entier positif. Il faut, en conséquence , soumettre cette formule à de nouvelles vérifications , propres aux différens cas que l’on veut y comprendre.
79. Celle de ces vérifications qui paraît en même temps la plus élémentaire et la plus complète, a été tirée par Euler ( Nov: Comment. Acad. Petrop. : t. XIX, p. 103) de la condition
qui, exprimant la propriété caractéristique des puissances, doit être remplie, quels que soient les exposans m et n, et sous quelque forme que soient présentés les facteurs du produit.
Or, quand l’exposant est entier, il a+été démontré que m (+) — ee + Her dl
1), 2° à Tales nie — 24 etc.
on a, dans la même circonstance, |
NN Se | |
DÉS ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. - t'efGi pis (usé mn (m+n)(m+n—1) mn EPSON 257 RL SR CAES RE EUR 22 SO + né
ma-n)(mHn—:1)(m4-n—02 | Trop er rater) 1.2.6 | d'où il suit que la troisième série est le produit des deux premières, et que, par conséquent , ce produit se forme en mettant mn à la place de m dans la première série, ou de 7 dans la seconde.
Mais puisqu'il n’est pas encore prouvé que le déve- A m loppement de (1-4 2)" soit la série hs etc., quand l’exposant m n’est pas entier et positif, on ne doit considérer cette série, dont la valeur est lice à celle de m, que comme le développement d’une fonc-
tion inconnue de m. En représentant cette fonction par f(m) , on aura en général
( nr. mn ns 3 on 3 p* 14) dormi 1.9 fyrn 1:2.8 pente :
changeant m en n , ce qui est permis, il viendra
nu Ant), , n(n—1)(n—0) É(n)=iez te UD) 5
Gr) RASE 1.2 te 1.0 ,3 iris
et par conséquent,
EMI F(n) — fente mon
n n(n—1), n(n —1)(n—0) 4 22 TT, à x<{i+ rt 1.2 Eu 14,9 rare: } Si ce produit avait la forme trouvée plus hant, il serait le développement de f (mn), et la fonction cherchée satisferait, dans tous les cas ; à la relation
Compl. des Elém. d’Alg. 11
162 COMPLÉMENT F(m) XF(n) = f(mHn) (A). ‘ "8
Mais, dit Euler, « la composition des termes de ce pro- » duit doit demeurer la même, soit que les lettres m7 » et z représentent des Rte entiers , soit des nom- » bres quelconques (*).» Ainsi l’on peut lier: à des valeurs quelconques des lettres m et n, l'équation (4) trouvée lorsque ces lettres représentent des nombres entiers positifs.
Plusieurs géomètres, que ce raisonnement n’a pas satisfaits, ont donné les moyens de reconnaitre, à posteriori, la verité de l’équation (4). La longueur des formules, qu’il faut écrire, rend le calcul un peu embarrassant , mais néanmoins j'en présenterai les premières opérations, d’après le procédé indiqué par Séguer (Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1777, p. 37 de SO (7,
PR { 1 + De ———° 7 + T7, RTE em ete.
x {+7 Te me “ a) Len ME cu CEE a — & +ete.| 147 ntm 1) ntm ete n mn m(m—1) n Gun L'or en m n(n—1) | SR MA ET ALT LT n(n—1)(n— 2)|.
Ke 1.
* (*).. Hanc compositionts rationem non ab indole bierà al
m et n pendere, sed perinde se esse habituram, sive hae literae m et n denotent numeros integros sive alios raumerQs THOSGHEGRE {p: 108 — 109 du Mémoire cité).
(re) Gi aussi les Zlémens d'Algèbre, ds M. L'RNSES ét
En réduisant au même dénominateur tous les termes du coefficient de chaque Hs de z, dans ce produit, il devient
“A EL =) am E nn 1) D nee 5 | 1.2.9 “ A nv. SEA UN Loge SL aUCE)
Ses deux premiers termes et tous les dénominateurs sont les mêmes que ceux du développement de f(m + n), qui est
1+ GmHn)(mbn—i)(n hr frire
Gare (m+n)(m+n— 1),
rad Z° 2 eté, —(C);
il ne reste donc à comparer que les numérateurs, à partir du troisième terme , et à montrer que ceux de la sétie (B) se tirent. les uns des autres comme ceux de la série (C).
1°. Dans le troisième terme de celle-ci,on a...... (mn) (m+n—1), où il faut observer que le dernier facteur m—-n—1, peut être écrit de ces déux manières,
Gm—i)+n, m+(m—i),,
employer la première avec le premier térme m du multiplicande, et là seconde avec le denxième terme n; il en résultera
les Annales de Mathématiques, 1. IX, p. 290 et t.. XIII, p. 270.
(m+n) (mai) =m[(m-32)# rl nfm4(n—1)] =im(m-1) + 2mnH4n(n—1),
ce qui s'accorde avec la série (B).
2°. Dans le-quatrième terme de la série (C) se trouve le produit précédent multiplié par le facteur...... (m + n— 2) qui peut s’écrire. de ces trois manières,
(m—2)+n, (mi) +(n—1), m4 (ms),
qu 1 faut ‘employer, suivant leur ordre, avec les trois termes dont le résultat pre est PS ce qui donne | F0
m(m — 1) En - — 2) + n] +omn[(m — 1) + (nm + :)] + n(n — 1) [m + (n — 9) | m(m—1)(n—2)#4 3m(m—1)1+3mn(n—1 L)Hn(n1 ) (n—2) k comme dans la série (2). | | 8°. Au cinquième terme de la série (C),; On aurait pour multiplicateur des quatre termes du précédent, le facteur m + n —3, qui prend a aussi quatre formes, savoir , | (m —5)+n ; BAR 1). (m1) #2), me GT dt. 0415 PERTE Il est aisé maintenant de poursuivre + aussi ï bia du'e on voudra ces opérations , Et'ên les appliquant au passage du coefficient de 27, à celui de zP*}, de démontrer-par ce moyen que Si l'identité des deux séries a lieu dans un. rang quelcqnque, elle aura lieu dans, Je suivant, (*) :
it ee ee ue
—— mt À
(*) L'identité des coefficiens des séries (B) et (C) n’est autre chose qu’un théèrèmé très remarquäble dû # Vandermonde ; et dé-
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. "#0 on a donc l'équation $
£(m) X F(n) = EG Ha) (À, quelles que soient m et n.
Cela posé, si l’on change n en n +p, elle donnera f(m) XF (R dr n+p);
et comme
PA D Eq) X i@= f (7 + p); A N il viendra | -F(m)Xf(@) XE(p) =E(mtHnkp).
On obtiendrait une semblable équation:, quel que fût | le nombre de fonctions multipliées entre.elles..:: Il suit de là, que si l’on prend un nombre:k de fac-
teurs égaux à (7); où aura :
+ x 710 id gi a ER De |
puisque 7 RL Re =h; et par conséquent
FO T=ro
Tirant de part et HAUTS dar racine at degré k , On trouvera à
an n} SENTE £ (= = F cn) E montré dans le no 987 da tome III de mon Traité du Caleul différentiel et du Calcul intégral.
mais À étant un nombre entier , f(h) = (14 2)À, et l'équation ci-dessus devient
il est donc prouvé que 10h ce la série
ai. Gr) à GT Gr )G 2)
M AU, Tr 2° etc...
est le développement de la puissance fractionnaire ;
de la quantité 1 + z.
Je passe à présent au cas oùl'expésat es est un! nombre négatif : on a alors n 8 id
mn. ie P 3 Le mais d’un autre côté , | f(m+n)=({ + x e | ms 57:
il suit de là qe
| £Ch) X ED 4 LR à Mettant, au lieu de m, sa valeur - — 1, il vient , quelle que soitn, |
et puisque G=G+, = G +: y,
il en résulte que F(— 7), ou la série
n n(n+i), n@+i)(n+ ns > RÉRNEEE | |
» sir etc.,
est le développement de (1 z)".
Pour passer du développement de (1 + 2)" à celui
° @ s \ < de (x+ a)", on fait z— es d'où l'on tire
puis
Ge+a)"= a" (142),
et l’on est conduit à la formule du n° 144 des lémens.
La démonstration précédente ne laisse rien à désirer du côté de la rigueur ; mais les détails où il faut entrer pour achever sa première partie, peuvent paraître un peu longs, et faire préférer, sous ce rapport, la suivante, tirée des Transactions philosophiques (année 1796) (*).
80. L’examen des premières puissances de 1 + x conduit naturellement à penser que le développement d’une puissance quelconque de cette quantité, doit être de la forme
1 4x + Br + Cr + Drf + Exÿ +etc.,
les coefficiens À, B, C, D, E, etc., étant des nombres entièrement indépendans de toute valeur de x: Ilest visible, d’ailleurs, que ce développement ne doit contenir aucune puissance négatiye de x; car s’il avait, par
P exemple, un terme de la forme a: la FUpDOA HQE de
x —0 rendrait ce terme infini (Ælém., 68), tandis que
LA
(*) L'importance de la formule de Newton en à fait multiplier les démonstrations à tel point, que leur réunion composerait un fort - gros volume ; les Transactions philosophiques , surtout, en contüennent un Etdhd nombre.
la même supposition réduit à l'unité toutes les puissances de 1 + x.
Cela posé, soit
(+ x} —=1+ 4x + Bx° + Ca + Drt+ etc. ;
on aura aussi
QHy = 1 + 47 + By° + Cp + Dyl + ete, et en faisant Q+aæ=u, QG +3) =», il viendra (+ ne. Ut, «(1e ADP
et ap A(%=y) + B(x y") + C (25) D (Et) Het.
Mais si l’on fait attention que | iteœus, 1+y=v, onen conclura que
UT tre AT Ut
et que ur" A(x=y)., B(x°—ÿ") RÉan e ur — y" L—Y nas e BrmY ae Fra oc u
Or, en vertu du théorème du n° 158 des Elémens, on a , puisque m et n sont des nombres entiers,
D —( 1 — y) (um pums,, AP urippnt) up —Qu—v) (ut urtiy,, UV pr),
et laidivision par la quantité x — y s'effectue ; il viendra donc, d'après cela,
DT pm... L um pm 1 PE AT RE ED Pre a À ms A
AHBGHP EC +-2y+S" HA RE rt) +E(rt+xy HR Ly +xÿ + y!) + etc.
Cette dernière équation, devant avoir lieu , quels que
soient x et 2 subsistera encoré lorsqu'on fata = 9, hypothèse qui donne
tai, u =,
et qui réduit ’équation ci-dessus à...........4 .(P) M1 ET = A+ 9Bx 4 3Cx° + 4Dx° Æ 5Ext + etc.
ou à . 0 0 A+ oBx + 3Cx°+ {Dx$4 5Ext+-etci).
Maintenant, si l’on! met pour u" et u”" leurs valu
br et 14%, on aura
“ No — (1 HN 4+2Ba-+5 On 4Da BE + etc.),
équation qui renferme u#e condition propre à déter-miner les ue 5, C, D,,etc.; du développe-
ment de (1<+ x". ", En effet, si l’on substitue ce développement dans le prensr huoihie. on Nonyere
He AD HT = Bat + Cat ! Diri ete
He u+: 2Bx + 5C% + jp + SE etc.
={ + Ax+ 2Bx + 308 Æ {Dr +etc.
Si l’on n’a point perdu de vue que! toutes les équa-. tions par lesquelles on vient de passer ; doivent se vé=! rifier sans qu'il soit besoin d’assigner aucune valeur à æ,onen conclura nécessairement que leur premier membre doit renfermer précisément les mêmes termes quele second , ou, ce qui est la même chose, qu'elles doivent être fAtiones: Or, pour “que cela soit, il faut que les termes affectés de la même ‘puissance de x soient multipliés, dans l’un et l'autre membre, par les mêmes coefliciens : on égalera donc les coefliciens du premier membre de l'équation précédente , à ceux qui leur correspondent dans le secund ; on aura ainsi les équations ; dé. “is D
AZ, Pi | A =, m Lui Sr EE aB.+ Ain 2 ” DES — : ÿ m pi 4 B 3) 3C + 2B = —B, cequ /C — ° & donnera d: 9° HO C5 4D + 5C = —C, : D\= x »
m Va LE 74) eic. etc.
On voit, par les dernières équations, comment les coeffciens 4, B, C,'D ,etc., dérivent successivement les uns des autres. Si l’on prend leurs valeurs, ce qui n’a aucune difficulté, et qu’on les substitue dans la suite
rl L
+ Ax + Ba + Cr etc.,
on trouvera m m/m. m/m m/ ES Au \ —{ ——1 || ——02 n\n NN 7x :
Ga) = D
RS on xt Fe | 1.2.9.4 Name
J'observerai qu’il n’y a point d'induction dans ce qui précède; car toutes les équations qui y conduisent sont symétriques, et la loi de leurs termes est telle , qu’on peut en concevoir un aussi éloigné qu'on voudra du premier. Il faut remarquer aussi que.le dévelop-
pement de (1 + x)" donne celui de ( 1x)", en faisant 7 — 1, et qu'ainsi la formule du binome se trouve détnontrée r lorsque l’'exposant est un nombre entier.
On pourrait encore révoquer en doute la légitimité
de la formule pour le cas de l’exposant négatif; mais pourla prouver, il suffira de montrer que l'équation (7), de laquelle se tire cette formule, a encore lieu lorsqu'on y change m en — m; or, c’ést à quoi l’on parvient en observant que
47 — um
LT min TM, ES pt ALES DR es (9 y
car il en résulte
TT a a 1 Pipe a Ts 117 Fer, ÿ — 47 De un CT puni er) + + ue y")?
Un — y"
et comme, par ce qui précède, la quantité — ee de- LU =
172 COMPLÉMENT ù m IN —1 vient a
lorsque »—%, on aura pour le même cas,
ue WT 1] mu"T1 mn AU T1
Re A 7 ES Le second membre de l'équation (7°) ne changeant d’ailleurs RO de forme, elle deviengéa
— —= A+9Bx + Ca ADS EE etc.,
nutT—1i
équation qui ne diffère de (7 ; que par le signe dé my et qui doit, par conséquent | Conduire aux mêmes ré.
sultats que IL On déduirait dé lé A roc a y Pets y ets geant m7 èn —,
81. Pour appliquer maintenant la formule du binome à l'extraction des racines, je vais. chercher la racine E°.
de a + b, c'est-à-dire: développer (a+b)5. Enfaisant m=—;$ dans la formule du n° 144 des Elémens, et-en y changeant æ en:a, et « en b, les "RARE
MA M—1A M—L2a cv 1, —— NÉ 10 26 sy ic APR Te d''ER A ARE TOUTE deviennent | L 1 52—1b 1—2b :—3b 7 AE As - RAS RER La NE j WE a? da} 5.7 4 a? '
et en réduisant, Luptigl or |
fe 1 b'. 4 b ; 9 b. 14° b.- | 5 a
