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les termes devenant de plus en plus petits , la série soit, #
convergente.
De a ee. 2 et
DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. i7b 82. Les premiers termes du développement de (x a)" suffisent le plus souvent pour exprimer d'une manière très approchée les racines des nombres ; et c’est de là qu'ont été tirées plusieurs formules que je vais faire connaître. | Soit proposé d'extraire la racine m°"° de la quantité ab, dans laquelle la valeur de a surpasse beaucoup celle de b. Pour céla , comparant a" + b au développement de (a+ q y, et effaçant de part et d'autre le terme a”, on aura à
es m(m—1)(m—2)
La
b=mar— qi = Ve 1) ns g°+ am—3q$ etc. ;
résultat auquel on . donner la forme suivante :
Bern I)
et dont on tire
b EM nm), m(m—1)(m—2), 4 x M TM ns © geo
On pourra négliger, vis-à-vis du terme ma", ceux qui sont affectés de la quantité q, si cette quantité doit être une fractiomtassez petite ; on aura une première approximation que-je désignerai par q’, et dont l’ex- $ b pression sera q'=— ru per En prenant un terme de plus: dans le dénominateur de l'expression ARAREAL de q,etne négligeant que les termes affectés de q° et.des puissances supérieures , oh aura
Re b b & 1 mr 7 ma"Tt M — 1 ma Fe ons af Eat A
On mettra dans le dénominateur du second membre, à la place de g, sa valeur g', obtenue par la première approximation, et il en résultera une seconde valeur : b 1
D ass m | a+
plus exacte que la première ; on pourrait continuer de cette manière, mais je me contenterai d'ajouter à ce qui précède , l'exemple donné par Lambert, auteur de la méthode. | | Soit m—3 et a*+ b— 45875642 ; on trouve que le plus grand cube contenu dans ce nombre est 45499293, cube de 357; on a donc aÿ— 45499295 ,b—=374549, et a — 857, Il vient ensuite AN b RAT b l ch FE LT 6 al b 374849 3 = ne — 349,53221 , .
0.8 L.1 34993891 g COR Pt 357 AS MENT 1 __ 349,53201 ie 3a AN apr pi 357,98 ga
et par conséquent, a+ q —357,9764.
Ce résultat est exact jusqu'à la quatrième décimale ; on peut s’en assurer en faisant a — 358, nombre très approchant, et duquel il résulte AURA
__ go7o DV —2 — 8,445065 ,
De
b 1 8,445065. A ER, Pr deg = % 0,0256 &;9", HS: : 6 8,44506 Mood Gr Fe # 0,093591 — q°, d'où | a + J — 357,970409,
valeur qui s'accorde avec ia précédente dans les quatre premières décimales.
$ 1 di Si, dans l’expression q"— ——— ] P q ma"? M—1
, On
met pour q" sa valeur —— il viendra
ma"?
* 2ab 7 9ma"+(m—1)b° d’où il suit
PEYRE 2ab GE RE SORT RER
oma" E(m—1)b? formule à laquelle Haros est parvenu sans connaître le travail de Lambert. Il en résulte, lorsque m = 2 ét m5, les expressions suivantes :
La
Eu 2ab ab Vatb=at eg, Votl=at
83. En faisant m == } dans les quäntités représentées par À et par Z, à la page 92, elles'donneront, si a surpasse b, des séries convergentes, au moyen desquelles on dbtiéndez les valeurs approchées des expressions
(CET En NES CL Ter
| Compl. des Elém. d'Alg. 12
178 COMPLÉMENT 1] viendra
5.6.9.12 at 1,2.6,.8:11: 1400 #56 0 018100 — 010 fo { 1,4:9 D, 1409168421 D ue 6.9 a ! 3.6.9.12.15 & 2.5.8.11.14.17 D?
= TE grinciiBa @ te te};
et en substituant ces valeurs dans les formules du n° 31, on aura des valeurs approchées et réelles des racines de l'équation du troisième degré dans le cas irréductible.
Ces séries n'étant convergentes que dans le cas où l’on a b<< a, il faudra en trouver qui procèdent suivant les
puissances de — pour le cas de b > a, ce qui se fera en:
écrivant, comme il suit, les binomes proposés :
CV +", VE +0 Or,
by —1+0= D T9) ten les
— —4/—1; de même
puisque
{550 donc
(a+ bV—1)" = (b (=),
Les développemens des facteurs
( iv) et. (: + Vi)
se déduiront de ceux de b,-—\m b ,y—\m Co D NC ED
Œrte., #4 +8 en changeant a 25 il ne restera plus qu’à multiplier
les séries résultantes par les facteurs OV —1)"=b"(V/—1)" et (—5 = y
Pour obtenir (Y/—1 Vs lorsque ME ; 3i fat cher-
] cher la valeur de (V/—1}, et l’élever ensuite à la puis- 1 °°
sance p. Soit y — (V—1} » OU, Ce Qui reyient au même,
y—=(— 1); en élevant les deux membres à la puissance 2q , On aura
YT—=— 1 HROU Y+1=0,
Telle est l’équation d’où dépend en général ( treus ÿ : mais lorsque q ést impair, une des valeurs de cette. expression est égale à +V/—x, OÙ à —ÿ/—1 ; Selon que q est de la forme 4:41 on 4143 (41), parce qu’en faisant, dans le premier cas, = + W 1, et dans l'autre y—=—Y/—1, on trouve L'EST 7
En prenant m =, on aura (4/1) — Wii puis il viendra
LS 2: Dati RS ï Ai Les 25e à 3 b4 3.6: PTE Égiss bÿ ete.},
dé #4
PR CE RE AA "E Dites F-Gérra DEN cf»
et l'on formera avec ces valeurs un second système de
formules qui donnera les racines de l’équation du troisième degré, lorsque b > a.
