DES

AAMAMAANAAANANAAANNA

e Des fonctions symétriques des racines des | équations.

1. Ox appelle fonction d’une ou de plusieurs quantités, toute expression Composée de ces quantités! ou

3 ] \ 4 j dont la valeur en dépend: x”, sont des fonctions de

——, etc., sont encore des fonctions de ) cx" + d? ) à

æ , lorsqu'on regarde les quantités a et b, c et d . comme déterminées ou conmues. L'expression axy—by?, considérée par rapport aux quantités + et y seules, est une fonction de æ et y; les racines d’une équation, dépendant de ses coeflicient et de son exposant , sont, par cette raison , des fonctions de ces quantités. Quoiqu'on ne puisse obtenir en général les racines d'une équation que par approximation ou avec des radicaux, il y a cependant des quantités qui dépendent de ces racines , et qui s'expriment d’une manière rationnelle au moyen des coefficiens de l'équation proposée. Les quantités dont je parle sont celles qui renferment toutes les racines combinées d’une manière sem-

Compl. des Elém. d'Alg.

3 COMPLEMENT blable, soit entre elles , soit avec d’autres quantités, et que pour céla je nommerai fonctions symétriques La somme des racines , celle de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc., données respectivement par les coefficiens du second, du troisième, du quatrième, etc., termes, sont des fonctions symétriques.

On reconnaît, entgénéfal , une fonction symétrique à ce qu'elle ne change point de valeur, quelque permutation qu'on y fasse entre les quantités dont elle dépend.

Les fonctions qui n ont pas ce caractère , dépendent d'équations plus élevées que le premier degré, parce que. c’est une Joi bien remarquable de l'Analyse, et une suite nécessaire de sa généralité, que l’équation d’où dépend la détermination d’une fonction quelconque , renferme toujours toutes les valeurs dont cette fonction est susceptible., en y échangeant , les unes dans les ‘autres, les quantités sur l’ordre ‘et la ‘valeur desquellés 1ès”conventions n’ont rien établi de particulier. :

Les questions suivantes , quoique très simples, répandront le plus grand jour sur tout Ceci.

2. Proposons - “nous d’abord de trouver deux quantités dont la somme soit Pet le produit q.

ÆEn représentant par x ét par y.ces deux quantités,

on aura à:

CROP Ï a ), débat y a d'où. l’on tirera À ra se pa TE Ÿ:

y 4; | Ÿ PER EE0); les deux inconnues x et y seront les racines d'une même équation parce qu'elles entrent toutes deux'de la‘mrême manière dans'les conditions du problème.

Je suppose maintenant qu’au lieu derchercher ifnnrédiatement les quantités et y, on!se borne à demander là valeur de -leur différence æ—y: on l'obtiendra sans

DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. à peines car , en vertu des équations proposées, on aura

Hay +y = pt, 4ey 4:

retranchant le second résultat du premier, il viendra

D —22y + (y) —=p— 49, d'où z— y = Ep 4q.

On.pouvait prévoir d'avance que la fonction x —y aurait deux valeurs, et que par conséquent elle dépendrait d’une équation du second degré; car rièn dans l'énoncé de la question et dans la manière de la résoudre n’indiquait qu'on cherchât x — y ou y—x.

La fonction x°+ y*, au contraire, dans laquelle il est indifférent de changer x en y, et réciproquement, n'étant susceptible que d’une seule valeur, ne dépendra que d’une équation du premier degré. En effet, si de l’équation x? 2xy + y —p* on retranche celle-ci, 2xy —92q, il en résultera

Cesremarques seront d'autant mieux senties , qu'on sera plus habitué à la marche de l'Analyse.

3. Ilest facile de voir que si æ, 8, y, à et « désignent les racines d’une équation du cinquième degré, les quantités

e+e+r+ète, ue + + PH à SR BE P+ So, etc. , sont des fonctions symétriques de ces‘racines. Il en serait de même des puissances semblables des racines d’une équation d’un degré quelconque. Newton a donné

des formules très élégantes pour les calculer sans qu'il soit besoin de résoudre l’équation proposée. Ces formules , qu'il ne démontra point , sont de la plus grande importance dans la théorie des équationss je vais y parvenir d’une manière simple, au moyen de la formule trouvée dans le n° 180 des Elémens.

4. Soit a PAL Our LR, ÆTx+U—o l'équation proposée ; le résultat de la division de son premier membre par x—«, ordonné par rapport à x, sera

ait a am Lo? LMI LS x 4, : ant | +P +aP| +4? amp + Ql +0 Ha | + R ani | Le T

puis changeant «& en 8 , on aura pour le quotient de la division par æ—8,

AMTI LE 8 XML? RARE xmT4, wi +em—r +Pl +8P) ‘+ep +6"?

Guise 4 Q +8 Q +6" | + R es up ni T; de même, pour le quotient de la division par Ty, on HO yera s ami, AMP amet PAR Not Dj +Pl 4yP| +ÿP +" 2P HO 40 +30

Lu AR 1 YA

En continuant ainsi, on obtiendra autant de quotiens

qu'il y a de racines ; et pour les ajouter ensemble, on

représentera par $, la somme des premières puissances

des racines , par #, celle de leurs secondes puissances,

par $3 celle de leurs troisièmes , enfin, par S, la somme des puissances du degré m : on aura ainsi

Sa HE +y + +, Ss = +R + ATH e, Ss = + 6 + PS + NH 6, Sn — a + EH PE À + em,

À l’aide de cette notation, on trouvera pour la somme -

de tous les quotiens donnés ci-dessus, l’expression suivante :

mami+S, xs, GS ES à Unre .… + VASE

+mP +PS, PS, PS; + mQ +05, + OS ns | < mR RS»,

J'observe maintenant que chaque quotient particulier est le produit de tous les facteurs de la proposée , excepté celui par lequel on a divisé. Le premier de ces quotiens , par exemple, renferme tous les facteurs, excepté x — « : le coefficient de son second terme sera donc la somme de toutes les racines , excepté «, prises * avec des signes contraires ; celui de son troisième terme, la somme de tous leurs produits deux à deux, excepté ceux qui seraient formés de la lettre # combinée avec chacune des autres : le coefficient du quatrième terme

contiendrait de même tous les produits trois à trois , à

l'exception de ceux qui résulteraient de la lettre +

combinée avec deux autres quelconques, et aïnsi des coefficiens suivans. Ce qui vient d’être dit sur le premier quotient et pour la lettre « , aura lieu également par rapport au second et à la Lettre B , au troisième et à la lettre y, etc. |

Il résulte de là que le coefficient du second terme dans la somme des quotiens, ou dans la fonction (4), est égal à m—1 fois la somme des racines prises avec un signe contraire; car si toutes les lettres se trouvaient dans chaque quotient, on aurait m fois cette somme ; mais comme chaque lettre manquera une fois , d’après ce qui a été dit ci-dessus , elles ne se trouveront toutes répétées que m — 1 fois. On aura donc (m—1)P pour le coeflicient du second terme de (4), et par conséquent,

S,+mP=—(m—1)P.

Le coefficient du troïsième terme de la fonction (4) contiendrait aussi m fois les divers produits des racines æ, B,y,d, etc., combinées deux à deux , si toutes entraient dans chaque quotient ; mais chacori de di produits manque dans deux quotiens : 48, par exemple, ne se trouve ni dans le premier ni dans le second; tous ne seront donc répétés que m—2 fois ; et comme leur somme est exprimée par © dans l'équation proposée, on aura (m—2)Q pour le coeflicient du troisième terme de la fonction (4), d'où il résultera

S,+ PS;i+mQ—=(m—2)Q.

De même le coefficient du quatrième terme de la fonction (4) ne contiendra que m8 fois les divers produits des racines prises avec des signes contraires et combinées trois à trois; ear chacun deces produits manquera

dans trois quotiens : —*£y, par exemple, ne se trouvera ni dans le premier, ni dansle second , ni dans le troi-

DES ÉLÉMENS D ALGÈBRE. 7 sième : ainsi leur somme étant R dans l'équation proposée, (m—3)R sera le coefficient cherché, et on aura par conséquent

Sa+ PS, + QS, + mR = (m—3)R.

On peut pouser ces raisonnemens auési loin que l'on voudra , et on en tirera

SimP=(m1)e . NET ON Sa+PS,+m Q=(m—2) Q, d'où Sa+PS,+0 Q—0o $ Ss+ PS QS+mR=(m —5)R, Sat PSa+- QS;+3R=—0, etc. etc.

5. On obtiendra par ces formules la somme des puissances des racines, tant que l’exposant de ces puissances sera moindre que m; mais rien n’est plus facile que de la trouver passé ce terme. En effet, il suffit pour cela, comme Euler l’a remarqué, de multiplier l'équation proposée par x”; il viendra LE PL E Qui LR Tri Ux"—o ; mettant successivement #, B, y, d, etc., au lieu de «, on aura jet arr pantui Qatar Ramtrs,, Tant Ua"=—o0, RME PEMPITLE ORPI TALE RATES, HE TRR HUB" 0,

efc.; et en ajoutant ces résultats entre eux , on conclura de la notation adoptée, Smn + PS mn: QSman2 RS mn. Q HTS,,:+ US,=0 , Cette équation se lie parfaitement avec les précédentes ,. car en faisant 2—0o,ona Sn = So = + 8° + y° Hd H etc. ; et comme 2° — 1, nie ir 90 1, etc. , il suit de là que S, égale l'unité répétée autant de fois

qu'il y a de racines, ou égale m. Par cette cheb: tion , l'équation ci-dessus AR

Sn PS + QS m2 RS m3 ….. .+TS;+mU—=0o,

résultat dont la forme répond à celle de la dernière des équations du numéro précédent , qui serait

Sn + PS m2 + OSn-3+RS ne Fa 4 +(m—1)171—= 0,

Ces équations, dont la loi est facile à saisir, renferment le théorème que Newton a énoncé dans son Arithmétique universelle, et qu’il a appliqué à l'équation

xt— x$— 19x° + 49x —30 — 0.

Dans ce cas particulier, où P=—1, Q —=—19, R= +49, S—— 580, il a trouvé

Si Si 00 » 119352 609 41 SURPRRRL

on obtient de même