Il est visible que si l’on fait x — = dans l'équation

proposée, qu'on en réduise tous les termes au même dénominateur , on aura une équation dans laquelle z—=xT",et dont, par conséquent, les racines seront T1, ÊT 1, y", etc. ; dégageant donc de son coeflicient la plus haute puissance de z, et mettant dans les dernières formules du n° précédent , au lieu des coefficiens P, Q, etc., ceux de l'équation transformée, les quantités S,, S,, 5, etc., deviendront les sommes des puis- . sances négatives des racines de la proposée, et devront en conséquence être remplacées par S,, S,, S 3, etc. , en désignant par S, la quantité a + BL etc.

Nous ferons remarquer qu’au moyen de cette notation, on peut changer le signe de 7 dans l'équation

Sinn PSone ss. + TSiyt + US, 0,

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE, : 9 et qu’on aura l'équation

Sn + PS ur ds —- TS, n + CSS 0 ,

qui fera connaître les relations des sommes des puis- Sances négatives , soit avec celles des puissances positives, soit entre elles; mais tant que 7 << m, ces dernières relations sont exprimées plus simplement par ce qui a été dit ci-dessus.

7. Avec le secours des résultats du numéro précédent, toute fonction algébrique, rationnelle et symétrique des racines d'une équation quelconque, pourra s "exprimer “Dar les coefficiens de cette équation ; l’exemple qui va suivre, quoique particulier, montrera suffisamment de quelle manière la chose doit s’exécuter en général.

Soient «, B et y les racines d'une équation du troisième . degré : si l’on multiplie lune par l'autre les quantités

a Hp ty S, et a+ 8 HyP—S,, il en résultera

ue lo Mlle nc RE 6s + ap + a BH ay aPy" Æ ByP Æ ePy" Ï AT:

mais la première ligne du premier membre est égale à Sn+p , et la seconde est une fonction symétrique pe racines #, 8 et y, formée en-les combinant deux à deux, et en les affectant , Chacune à son tour, de Vonboant n et de l’exposant p : on aura donc

a RP LuP BU NN RE Sn 87 — np

Il est facile de voir qu’en quelque nombre que soient les racines «, 8, y, etc., la valeur d’une fonction symétrique de la forme «"£P + etc., sera toujours S,S, — S,,,, les sommes 5,5, et S,,, étant calculées pour le nombre de xacines que l'on considère.

En multipliant par a + 81 + y1=S, l'équation pré-

cédente , on aura

QT RP ap BP TI ep PA LE GR À gl GP PQ enr al a ae AP IS Bye + EP +0" By + PB al BI UT BTP ot BP"

= 6,8, SE Les deux premières lignes du premier membre de cette équation , étant des fonctions symétriques formées de produits de deux lettres, seront , d’après ce qui précède, exprimées respectivement par

Sn449p— Sntptg € SpxgSn — Sntpeg ; et on en conclura que la troisième ligne, qui est unes fonction symétrique formée de produits de trois lettres, sera égale à

Sn8 784 — Sn4p5q — Sn44Sp — Sp4g9n + 2Sn+p+ge

On aurait encore ici, comme dans le cas précédent, un résultat de la même forme, quel que fût le nombre des racines ; en sorte que l'expression ei-dessus est celle de toute fonction symétrique composée de produits de trois racines.

Le procédé dont j'ai fait usage pour découvrir les deux formules précédentes est général; et en continuant les multiplications, on parviendra à exprimer une fonction symétrique quelconque, qui ne peut jamais offrir qu'une suite de termes tels que «"8P10" etc., et dans lesquels. chacune des lettres «, 8, y, etc., se trouveaffectée successivement de tous les exposans. #

La formule donnée ci-dessus , pour l'expression de la fonction symétrique 4"{4P,9 + etc. , doit être modifiée lorsque quelques-uns des exposans #, p, q deviennent égaux.

Pour fixer les idées , je supposerai qu'il n'y ait que les racines &, B, y, à, La fonction «*#y1+- eic., composée

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. T1 de tous les arrangemens possibles des exposans 7, p, q sur les lettres «, 8,7, d, prises trois à trois, renférme en général vingt-quatre termes distincts ; mais lorsque deux de ces exposans deviennent égaux, comme dans la fonction æ°8y+ 2°89+ etc., elle ne contient plus que douze termes différens , répétés chacun deux fois, etla valeur que donne dans ce cas l’expression ci-dessus, est double de celle que doit avoir l’ensemble des douze termes inégaux. Si les trois exposans n, p et g devenaient égaux entre eux, la fonction 4"{Py1—etc., ne renfermerait plus que quatre termes différens , répétés, chacun six fois ; et, dans cette hypothèse, il faudrait prendre pour la valeur de ces quatre termes le sixième de son expression générale.

Toutes les fonctions symétriques sont susceptibles de semblables réductions lorsqu'il y a égalité entre quelques-uns de leurs exposans ; en comparant leur forme réduite avec leur développement général, on verra facilement par quel nombre il faut diviser l'expression que donne pour ce dernier , la méthode ci-dessus.

Les fonctions fractionnaires ne doivent pas faire un article à part ; car lorsqu'elles sont symétriques, il en résulte , après qu’on leur a donné le même dénominateur, une fraction dont les deux termes sont des fonctions symétriques et entières. La fonction. ..........

æ 8 2, y,8 7 pair bu aa ee par exemple, conduit à

RH a + dy + ay + Ey + By

\ aRry

numérateur et le dénominateur sont des fonctions sy-

métriques. | Plusieurs géomètres se sont occupés spécialement

de ces recherches, et Vandermonde, en particulier,

à imaginé une espèce de signe , ou un algorithme , au

, résultat dont le

12 COMPLÉMENT moyen duquel il a construit des formules générales qui donnent immédiatement l'expression d’une fonction symétrique quelconque. Ceux qui seront curieux de connaître ces formules, pourront consulter son Mémoire (Acad. des Sciences, ann. 1771).

8. Si l’on avait une fonction dans laquelle il n’entrât que quelques-unes des racines de l'équation proposée, on pourrait encore, à l’aide de ce qui précède, parvenir à former la nouvelle équation dont elle doit dépendre. Qu'il s'agisse , par exemple , de déterminer la somme de deux quelconques des racines de l’équation générale du troisième degré ; comme il n’y aurait pas de raison pour représenter cette somme par « - 8 plutôt que par & + y, ou par 8 + y, ces trois expressions doivent être regardées comme autant de valeurs dont elle est susceptible; elle dépendra par conséquent d’une équation du troisième degré, ayant pour racines & + @, «+ y et By, et qu'on formera en égalant à zéro le’ produit des facteurs

B—(a+6), 2—(aty), 2—(8+y).

En effectuant le calcul, on obtiendra

D —o(a +BLy)z+ CHR y + 848 3ay +38y)z } ei À

— (Ba ay pay + Bye) —2a y ni Les coelliciens des différentes puissances de 3, dans ce résultat, sont des fonctions symétriques, dont on trouvera facilement l'expression, et les valeurs de l’inconnue Z Seront aussi celles de la fonction cherchée.

L'équation générale du troisième degré étant représentée par x° + Px + Or +R=o, on aura

a + B + = P, AR + 9 + Gu8 + Bay +5 = PH Q,

et d'BLas + ay oy + 8°y + By =SS, — S3;

mais donnent les équations du n° 4

SP, S3=P?—0Q, Ss—=— PH GPO—ER, et de plus, | À

— ay =R:

il viendra donc

DE Ha + ya + By +6) —oaty=POR,

et, en dernier résultat , 2° + 2Pz° + (Pr+ O)2+PO—R—0o.

Cet exemple fait voir que pour trouver l'équation d’où dépend une fonction quelconque des racines de la proposée , il faut faire dans cette fonction toutes les permutations possibles entre les lettres «, 8, , à, etc. : et désignant par «’, 8°, y”, etc., les différens résultats obtenus ainsi, on égalera à zéro le produit des facteurs

34 ,2— 6, z—y,;2— 0", etc. Les coefficiens des

puissances de z dans l’équation à laquelle on parviendra étant des fonctions symétriques des quantités &’, #’, Y» *, etc., qui renferment entre elles toutes les combi naisons qu'on peut faire des quantités #,8, y, 4, etc. , dans la fonction cherchée, seront aussi des fonctions symétriques de ces dernières , et pourront par conséquent s'exprimer sous une forme rationnelle par les coefliciens de l'équation donnée. En effet, il est facile de voir qu'aucune fonction symétrique de «’, 8, y, d", etc., ne peut changer de valeur, de quelque manière qu’on permute entre elles les lettres & , 8, y, à etc. : et cette inyariabilité est, ainsi qu’on l’a vu plus haut, le caractère essentiel-des fonctions symétriques.

g. Les équations qui déterminent $, , $,, S3, etc, dans le n° 4, donnent aussi les expressions suivantes :

P = —S,, Q=- ES, DNA QS, PSS etc., k

par le moyen desquelles on peutytrouver les coefficiens P,Q,R, etc., d'une équation x" + Pam etc, —0, lorsqu'on connaîtra les sommes S,, S,, S3, etc., des puissances de ses racines. à

Ces formules sont commodes pour former l’équation aux carrés des différences des racines d'une équation donnée (Ælém., 208).

Soit, pour exemple, l'équation °—7x+47=—0 ; désignons 6es racines par «, 8, 7, et ses coefhiciens par P, Q, R; l'équation cherchée étant alors | |

Lee) } {a} Len} D), il viendra pour la somme de ses racines, GE) +@— +)" DC BE y) —a(a8 ay HE) 08, — 20; pour celle de leurs quarrés, AT C++ EN 2(e4 64 94e EE) +6 (ae Hay +87) =5S4— 4S3S, + 38% ; pour celle:detleurs cubes, GR) +(a—y)FEN—=, R 2(a52 85495) 6(058+a85+ eye) y +87") 156 a etat) BED) —90(2585 a+ 875) —=5S5— 655551 ES4S:—108$"; À eton trouvera , par le n° 4, j

So 614, 5501, 542298 Se 045, 562855.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 15 Nonmmant alors f,, f;, 3, les sommes développées cidessus , on aura

Pi 424 fà=:882 ; PE TU

et comme il existe entre f,, fa, f3 et les coeïliciens 5 l'équation en. z, que je rAprésentéras Dame fiat

2° + pa + 42 + 0 les mêmes relations qu'entre S, , 81, S3, et les TAN P,Q,R, les formules rapportées au commencement de cet arhole , donneront

P'FE Gale + 49 g= ER La,

rt F Dfa

ét, par conséquent , l'équation (D) deviendra Li al dot dés 49 0, comme dans le n° 208 des Élémens.

ua La théorie de l'élimination, -dans les équations à deux inconnues , dérive d’une manière bien simple de celle -des fonctions symétriques , -exposée dans les articles précédens.

Soient les deux équations

x" + Pr" Oz": HAL... HT x HU =0o...(1), IT" HP ER Q'E AR LT. HŸ' x Z'=0:: (2);

le°moyen-qui s'offre le bremiér pour chasser x de ces équations, consiste à prendre dans l’une d'elles la valeur de ce la Substituer ensuite dans l’autre. Supposant doncque l'équation (1) soit résolue , et qu’on en ait tiré les diverses valeurs x —u,x=8,x—"7,x—d, etc., éômme elles appartiennent toutes à la question proposée,

elles doivent être substituées indistinctement dans l’équation (2), et produiront ainsi autant de résultats délivrés de x, que l'équation (1) a de racines : on aura séparément AA.

ar P'ar LOL R ans, LV'atZ'—0o, | BE PET ROBE HR ET. HV R+Z 0, | Y'HEP y + QI LR Y'y+7Z=0o, ; (3) ML PILO NERO. LV EZ'=0o,

etc.

Aucune de ces équations , considérée en particulier, ne peut être la résultante cherchée; mais cette dernière doit les comprendre toutes, et avoir lieu en même temps que chacune d’elles; condition qu’on remplira en les multipliant-entre elles, et en égalant le produit à zéro, puisque ce produit deviendra identiquement nul , quand l’un quelconque de ses facteurs s’évanouira. On voit de plus qu’il ne changera point, quelque permutation qu’on fasse dans l’ordre des quantités &, 8, y, d, etc.; qui concourent toutes de la même manière à sa formation ; il ne renfermera donc que des fonctions symétriques de ces quantités, et pourra par conséquent s'exprimer rationnellement par les coefficiens de l'équation (1).

Si les équations (1) et (2) ne renferment que deux inconnues x et y, et sont du même degré par rapport à l’une que par rapport à l’autre, l'équation finale en y ne s’élevera point au-delà du degré mn. En effet, la somme des exposans de x et de y ne pouvant surpasser m dans chaque terme de l’équation (x), y ne se trouvera qu’au premier degré dans P, au deuxième dans © , an troisième dans R..., au. (m— 1)" dans: 7°,48hb enfin au mi" dans U. En examinant la composition des équations qui donnent $,, $,, S3, etc. (4), on verra que $, ne pourra être que du premier degré ent, S, du

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. \7 deuxième , etc. A l’aide de ces remarques , On concevyra facilementque l'exposant de y dans la valeur d’une fonction symétrique quelconque z"{P19" etc. etc. (7) ne surpassera point le nombre np + q +r-etc., qui marque le degré de cette fonction : on pourra done regarder les diverses puissances de «, 8, y, d', etc., comme des fonctions de y du degré marqué par l’exposant dont elles sont affectées. Mais, dans l'équation (2), la somme des exposans de æ et de y n'étant jamais plus grande que n, P' sera du premier degré en y; Qf du second, R’du troisième..., Ÿ’ du (n —1}°", et enfin Z' du n°"; tous les termes des équations (3) pourront donc aussi être regardés comme des fonctions de y du degré n au plus. Maintenant, si l’on fait attention que chaque terme du produit des équations (2) aura pour facteurs un nombre m de termes de ces équations, onsera convaincu que y ne pourra s’y trouver affecté d’un\exposant supérieur à mn. |

Ceux qui auront quelque peine à saisir les raisonnemens précédens, à cause de leur grande généralité , feront bjen de développer le produit des équations (3) dans quelques cas particuliers. |

11. Pour éclaircir ce qui précède , je vais en faire l'application aux deux équations

x+Pr+OQ—o, x°+p' t+ Q'=0 ( Elém., 188) :

« et 8 étant les racines de la première, on aura, en les substituant dans la seconde,

Pa Q=o, # HP Qo)

Le produit de ces deux équations sera

AE Pa B + a RE) HP aB+ QG) PQ (HE) Q "0, à Compl. des Elém. d’'Alg. 2

18 COMPLÉMENT À mais 248— Q, «8e 8—ap(«+8)=—?PQ, :

hp = P—2Q, a+8—=— P.

À l'aide de ces valeurs, le résultat ci-dessus devient QI AOC + QE POTERIE + P°Q —PP'Q 4

ou, comme dans le numéro cité des Elémens,

(Q— QY+H(PQ— P'Q)(P PP) 0.

Remplaçant les lettres P et P', © et Q" par les quantités qu’elles représentent, on aura l'équation finale en y.

19. La théorie des fonctions symétriques trouve aussi son application dans les équations à plusieurs inconnues. Soient, par exemple, deux équations contenant les inconnues x et y; si l’on désigne les valeurs de x par

A Br Vs d'a elC celles de y par

18,9, à, EtGes en sorte que «’ corresponde à «, 8’ à 8, et ainsi de suite, toute fonction de ces quantités qui demeure la même lorsqu'on y change un groupe de valeurs dans un autre, et réciproquement, comme , par exemple , # et # en 8 et g', puis 8 et f'enc et æ', est symétrique, et peut s’obtenir, rationnellement par les coefliciens des équations proposées : telle est la fonction

Pa Pl 2 BPR'P' pp PE OPÔP", en ne supposant que quatre valeurs à chacune des inconnues.

Waring avait indiqué il y a long-temps;'pour obtenir ces fonctions, un moyen, qui d’ailleurs s'offre presque de lui-même; c'était de faire x?y"= t, et d'éliminer x et y entre cette équation et les proposées. La ré.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 19 sultante en #, ayant pour racines les diverses combi-

naisons “nf aPo'P”, BPB'P", vryP, etc.,

le coefficient de son second terme serait un nombre équivalent à

— (aPar" + GPR'P" 4 yPy/P° + etc).

Ce procédé exigeant qu'avec les équations proposées on en combine une autre où les inconnues x et y passent le premier degré, jette dans jes embarras de l’élimination entre trois équations à trois inconnues , lorsqu'il s’agit d'équations qui n’en contiennent que deux. M. Poisson , dans le onzième cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique (page 199),a donné un moyen très ingénieux pour sauver cette difficulté,

Il fait t— x + 4y, À étant un coefficient indéterminé quelconque. Si l'on tire de cette équation la valeur de x ou de y, celle de x par exemple, qui est t— Ay, pour la substituer dans les deux équations proposées, les résultats en £ et y seront encore du même degré ; et si l’on élimine y, l'équation finale en f aura pour racines les diverses valeurs que prend la fonction x + Ay, lorsqu'on substitue aux inconnues chaque groupe de leurs valeurs correspondantes , savoir :

æ+ Au, B+HAB, y+'Ay, d + Ad, etc.

La somme des puissances semblables de ces racines, ou la fonction

(+ Aa!) + (8 + A8) + (y + AY) + etc. ,

sera exprimée par une fonction rationnelle des coelficiens de l'équation ent, qui ne contiendront que ceux des proposées et la lettre 4 ; mais la première de ces

Dire

20 COMPLÉMENT fonctions, se développant ainsi qu’il suit,

Er AE Réaise AE À Eu 1) A+ etc. , + 8 + BTE + #7°8"2 1.2 a 6e pt AU NY + etc. | ne renferme qu'un nombre limité de puissances entières et positives de 4, multipliées par des coefliciens qui sont indépendans de cette lettre, que d’ailleurs rien ne détermine ; la valeur que l'équation en { fournit de la même fonction, doit donc se développer ainsi,

a+ bA+4 cA°+ etc., ; a,b,c, etc., désignant des quantités connues ; et l’on - aura par conséquent

a+ gp + y +Hetc, — a, r(« 7—) œ! + Be" Re y + etc.) =D,

27 he Lo 7 —0 C1 mn et (œ r 2 y 2 Rr 28 2 y" 2 f2 etc.) Er né La :

équations qui feront connaître les fonctions symétriques de la forme

&Par' Æ Pre PL efcé Le dans lesquelles p + p=r.

Si l’on multiplie la précédente par ale'1 + 181 etc. , le produit ; ap" P'+4" EL gp+9p'P'#+9 LE etc.

+ aPa'P/818"9" 1e" EPR'P" HE etc comprendra deux fonctions symétriques, dont la première se déduira de «4? + etc., en changeant p en! p+g, etp'enp “+q": on déterminera donc la seconde; et en s élevant ainsi de proche en proché, comme on l’a

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 21 indiqué pour les équations à une seule inconnue, dans le n° 7, on obtiendra la valeur des fonctions symétriques les plus générales. On peutsvoir la loi de leur formation dans les WMeditationes algebraicæ de Wa-

| ring (page 225). | :

13. Il est facile d'étendre ce qu'on vient de lire à un nombre quelconque d'équations contenant un pareil nombre d'inconnues. |

Pour trois équations en æ, J » Z Par exemple , On prendra

1—= x + A, + Bz : ñ et substituant à x la quantité t— 4y— Bz, À et B étant des nombres quelconques , on éliminera y et,z, entre les résultantes , ce qui conduira encore à une équation en £{, dont les racines seront œ + Aa Ar Ba”, B+ AR + BB", etc.,

si l’on désigne par

CET Y d", etc.

les valeurs correspondantes des inconnues x, y et z. La somme des puissances r de ces racines, que je

représenterai par S,(« + Aa + Ba’), s'exprimant d’une manière -rationnelle au moyen des coefliciens de l'équation en #, si on la développe ainsi que sa valeur, suivant les puissances et les produits des lettres 4 et B , qui doivent rester indéterminées la comparaison des termes semblables , par rapport à ces lettres, donnera les fonctions de LA forme Lu

ct 6° + y etc.,

@TTo He BR + y H'etc.,

428 pt. Se" BP e'P puP" — che RENTE + etc. , dans lesquelles p+p'+p"=r.

Par la multiplication de celles-ci, on composera celles

de la forme aPuP'e'r"81g's" "3" — etc:

14. Au moyen de ce qui précède, on parviendrait à l'équation d'où dépend une fonction donnée des inconnues x, y,Z,en formant dans cette fonction toutes les ÉUnbiiaons BosstBTés des valeurs correspondantes des inconnues, comme dans le n° 8; maïs l’objet principal de ces réchérches est d'étendre à l'élimination entre un nombre quelconque d'équations, le procédé du n° 10, et d’en conclure là démonstration de la proposition générale érioncée dans le n° 196 des Elémens.

* Pour celà, soient quatre équations complètes, de deprés AA RONRRES renfermant lés inconnues x, y,Zzetu: si entre les trois premières on élimine alternativement y et z,æxètz,x et y, on aura trois résultats en

æetu, yetu, zetu.

Ces dernières équations seront, en général, toutes trois du même degré, puisque les équätions proposées étant complètes, chacune des inconnues y entre de lamême manière que les autres ; désignant donc par x le degré des nouvelles, équations ; et concevant qu’elles soient résolues ; on tirera de la première ; pour x, n valeurs, æ, B,; Y;, 9, etc., de la seconde , pour y, 7 valeurs correspondantes, kg L4 / f / “BB, y; 2", etc.; de la troisième, pour z, 7 valeurs corréspondantes, (4 [14 L4 N 4 + #4 M x ANSE En substituant ces valeurs dans la quatrième équation proposée , que je représente par

(x; Y, 3: AJP=S 06

m étant J’éxposant de son degré, on formera les équations particulières

(AA 40)" 0, CR U8" Au) ="; GP QUES, s

etc. ;

dont le nombre sera 1, et auxquelles doivent salisfaire les diverses valeurs de u; on conclura de là, comme dans le n° 10, que l'équation finale en w résulte du produit (G@, aa, u)" (8, &, 8", 4)" (7,7, y", u)" etc. — 0, comprenant n facteurs.

Il ne renférme que des fonctions symétriques dés valeurs des inconnues æ, y, 2, puisqu’en ÿ changeant un groupe quelconque de ces valeurs dans tout autre, on né fait que changer l’ordre des facteurs. On peut donc exprimer ce produit d’une manière rationnelle: au moyen des coefliciens des trois premières équations proposées.

On remarquera d’abord que chacun de ces Pins a pour premier terme u", et que par conséquent le premier terme du produit sera w"*, Dans tous les autres termes, l’exposant de w ne peut pas non plus s'élever audelà de mn; car la somme des exposans des lettres x, y, 2 et u, dans l'équation(x, y, z,u)"=0,ne pouvant passer ‘le degré m, celle des exposans des lettres «, 4 etc. , B,B',etc.,y,Y', etc., et u, ne pourra surpasser mn dans le produit, ét l'expression des fonctions symétriques qui composent les différens termes, ne s’éleyera pas au-delà de leur degré. En effet, l’équation en t du n° précédent ne peut monter plus haut que le degré le plus élevé des équations entre l’une quelconque des lettres x, y, z et la lettre u; et si on la représente par

ip Pi + Qu. HU —o,

24 COMPLÉMENT u ne passera point le premier degré dans P, le second dans Q, le nie dans U:

les valeurs des fonctions de la forme S,(a+ 44 + Bu) ne comprendront par conséquent aucun terme où l’exposant de w surpasse r, puisque leur expression sera celle de la fonction $, dans le n° 4. Il suit de là que la valeur de toute fonction de la forme aPaP'a"P" LE POP RP" LL etc., ne pourra s'élever au - delà du degré p+p'+p”, et que dans celles de toutes les autres fonctions symétri- . ques déduites de la multiplication de ces dernières, l'exposant de la lettre x ne passera pas celui: qui marque leur degré , ainsi qu on l’a affirmé plus haut.

Il y aura donc enfin dans le RrpaniE

(@, a, a", u}" (8, 8, & u)"(y, y, y, ny" etc. aucun terme où la lettre w passe le degré mn; c’est-àdire que le degré de l'équation finale résultante des quatre proposées est le produit du degré de l’équation finale résultante des trois premières, multiplié par celui de la quatrième,

Les raisonnemens ci-dessus convenant à tous les cas, et pour deux équations, l’une du degré m, l’autre du degré nn, l'équation finale ne montant pas au-delà du degré mn (10), il s'ensuitque pour trois équations, dont les de-, grés respectifs seraient m, n, p, l'équation finale ne pas-. serait pas le degré mn Xp, et ainsi de proche en proche; donc le degré de l'équation finale , résultante de l'élimination entre un nombre quelconque d'équations complètes, renfermant un pareil nombre d'inconnues et de degrés quelconques, est égal au produit des exposans qui marquent le degré de ces équations.

À l’égard des équations particulières qui n’ont pas

tous les termes compris dans les équations complètes,

il pourrait seukement manquer aussi quelque terme

dans l'équation finale , qui par là se trouverait abaissée , ce qui ne change rien à l'énoncé du théorème.

De la Résolution générale des Équations.

15. Avant de s’occuper des équations générales, il est utile de connaître quelques propriétés des racines de l'équation à deux termes, y"—1—o, déjà considérée dans les Élémens, n° 159. |

Soit, pour exemple , le cas particulier y —1—0, dont les cinq racines seront désignées par 1,,«, 8, y et à, En le comparant à l'équation

DR MONT RE Sy TPE 0),

on trouvera

RON OR = 0, "S'Eo$ T2,

d'où, par les formules du n° 4,

S,=i+e +R +y +À —o, S=1i+e+e+p+d—=o, Sie +E + YæH do, Sea LATE BE MEN 0, Ss = 1 + &ÿ + 85 HE PS HE 5 = 5;

puis celle du n° 5, se réduisant à S:,,—S,— 0, donnera Ss—=0,. Se 0 oo; Mure. Sim 20:

et ainsi de suite.

j 1 Posant ensuite, y— —, l'équation y”—1—0 se change Z 1 k en ——1—0,Ou 2 —1—0, et les racines de cette °Z

Ÿ: | dernière sont 1, —, —