OT CT OT + (DT

mmir=1)(m—2) b% : m(m—1)...(m—6) b7 — À RAS a hr à PPT > ete. ).

85. Il est facile de déduire du développement de la puissance m du binome, celui de la même puissance du polynome quelconque a + b + c + d+ e+ etc. Pour y parvenir d'une manière commode, je représenterai le développement de (a + b)"par

a" + Aa" b + Bar"b? + Ca"Tb$k etc.

Si maintenant on suppose que b se change en b+c,

le binome ab deviendra le trinomea+b<+c,etil faudra écrire , dans le développement précédent ,

G+Hc), G+cYÿ,; G+c), ete,

au lieu de b, b?, b, etc. On trouvera, par ces substi-

tutions, b 4 “a a+ dar À Line tete ce 18h: + etc., | 5, +

/ résultat quil est facile de continuer aussi loin qu pn voudra. Soit done Vam-"b" le terme général de (a+b)"; il se changera en Na"-"’(b + c)"’; et si l’on fait

bæ+c)"= DE A ba LE B'hn' rc LC, ON DM = em L otc,,

DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 185 il deviendra bp + 4'bm—1c + B'bw—26?

PAC mnt EP CN Of es —- N'bhr'-nm" cm!

+ etc.

En considérant avec attention ce développement, on remarquera bientôt que, dans chacun des termes. qui le composent, la somme des exposans des lettres a, b, c, est constamment égale à m, mais qu'ils ont d’ailleurs, chacun en particulier, toutes les valeurs qui peuvent satisfaire à cette condition, et que le terme général, c’est à-dire celui qui ne renferme que des exposans indéterminés , a pour expression N'a Mon”,

Je suppose encore que c se change en c + d, et

qu'on ait (c+ dy" — CHA" d4B"c mia ]2 1 Ce B,,HN'er"-n"d""+etc.;

en substituant ce développement au lieu de c"” dans le résultat précédent , on trouvera que le terme général de | (a+b+c+d)r sera

NN , N" am" pratæme RS dr".

Il est facile de continuer ce procédé; et l’on voit déjà que N°dr"-m"en" Etant le terme général du binome (d + e)"”, celui de (a+b+c+ d + e)" sera

NN'N'!IN"ar-n'bu/--m Dome =mD Jr mu omA a

Il ne reste plus, pour avoir chacun de ces termes généraux, qu'à substituer, au lieu des coefliciens N, N”, N°, N” etc., leurs valeurs.

Puisque !V est le coefficient du terme a"—”'b"", dans le développement de (a+ b)", on a

LS CNRS RESTE Le 1 (Elém., 141).

Si l’on écrit au numérateur et au dénominateur tous les facteurs compris entre 1 et m—m’ inclusivement, la valeur de cette expression ne changera pas , et l’on aura alors

LA DE dite ste D'ou ee VS INIST Cd 120 M DC Led se TUE

On déduira N’ de IV en changeant m en m’, et m'en m'; il viendra donc

'— Litres emereeeeet me

on aura de même

1 L'ÉNRSUE De ee ne Re TIb Tin 2e MSC 1,9 0 I MEN (7/4 mm TeDesssessesssssssssse M

En faisant le produit VNN'N'N", avec l'attention d’effacer les groupes de facteurs communs à la fois au numé:. rateur et au dénominateur, on trouvera NN'N'!N"— 120. DUMAS a 6e IN CAIN

oo, L.2..(m-m')xX 1 .2..(m'-m") X l .2 .(m"-m") X 1 2..(m"-m"")1.2.m"""

fm mie 'p,

m if 4 TES q;

Soit fait, pour abréger, m" — MAT).

| m'” mn” = $ ,

en ajoutant ces équations , il viendra ; p+g+ræ+s+i=m, et l’on aura D nn de duht re de durriae same ur CNET RE. CM RC OMIS PO EN î

pour le terme général de (a+- b+ c+dæ+e)": de là il est facile de déduire celui de la puissance m d’un polynome quelconque.

Avec le terme général, on formera le développement cherché, en observant qu'il doit contenir toutes les puissances , depuis o jusqu'à m inclusivement, de chacune des lettres a, b, c, d,e, etc., et que la somme des exposans dans quelque terme que ce soit, doit toujours être égale à m. Quant au coeflicient numérique, la formule précédente fait voir comment on le déduit des exposans du terme qu'il affecte.

Pour donner un exemple, je prendrai

(a -k b + c + dy, En ordonnant le développement de cette puissance par rapport à une même lettre, je suppose que ce soit a, on n'aura plus qu’à chercher tous les termes qui doivent contenir chaque puissance de a; la manière dont je vais former ceux qui sont affectés de a°, fera voir comment

il faudrait s’y prendre pour toute autre puissance. J'écrirai

a°b®, a°c*, ads.

æb°?c, a°c°d,

a’b°d, ac,

abc? ,

abcd,

abd?,

Je ne m'arrêterai pas à former les coelliciens ; parce

qu’il n’y a aucune difficulté à cet égard, en se rappe- Jant que toute lettre qui ne porte pas d’exposant est censée en avoir un égal à l'unité.

Si m n'était pas un nombre entier positif, la condition exprimée par l’équation p4-q—+r+s+1+..—m pourrait paraître difficile à remplir ; mais on évitera cet inconvénient, en donnant au polynome (a+-b-c4-d-He-etc:)", la forme d’un binome (a +- b’)", dans le développement duquel on substituera , au lieu des puissances de D”, qui

seront nécessairement positives et entières, celles du polynome b 4 c + d + e 4- etc. On trouvera de cette /manière le terme général exprimé-par | m(m—1).. mn AL UE SAR NARMES Là:

CON OO 1.2. TE 21 1.0.5 OL m(m—1)......(m—n+i) RATE) DOC LTS IT IT PCI TS LOSC TIRE ti sous la condition q-Hr<+s+t=—n, et n étant successivement égal à 1, 2, 3, etc.

86. On peut faire usage des formules précédentes pour développer l'expression

(a + bx+ cr +dxs Lext+,,..)7; il suffit pour cela de changer respectivement b,c, d, e, etc., en bx, cx*, dx, ext, etc., dans le développeact de

GTA > 4

(a+b+c+d+e......)" En se bornant aux lettres écrites ci-dessus, le produit aPbic'd'e' devient aPbic'dse xt #8stat :

quant au coefficient qui le précède , il demeure le même qu'auparavant.

| | DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 189 Si l’on voulait former immédiatemeïit tous les termes affectés dé la même puissance x", il est visible qu'il: faudrait choisir Îles valeurs de q, r, s, t, de manière qu'elles satisfssent à l'équation

gH2r+5s+ét=n.

Les procédés qui font trouver par ordre ces diverses valeurs, sont l’objet de l'Analyse combinatoire des géomètres allemands , sur laquelle on peut consulter les Elémens d'Arithmétique universelle, par M. Kramp.

87. Des considérations analogues à celles du n° 80, font obtenir bien simplement les relations des termes consécutifs du même développement. Si l’on pose

(a+-bx+cx+dx+...)"—4 + Bx+ Cx°HDx+etc. :

A,B,; CD; etc. , étant des coefliciens indéterminés, ce qui donne aussi (a+by+cy"+dy+. .)"= 4+4By+Cy°+Dy+ etc., et que, pour abréger, on fasse .

a + bx + cæx° + dx +... =u,

a + by + cy + dj +... =w, on trouvera ( un y" B(x—ÿ) + C(x= y") + D(x°— y°) + etc.

uv b(x—y) + cat yt)+ dx— ÿ5) +etc."

Les deux termes de la fraction du second membre de

cette équation sont divisibles par x — y; en effectuant la division, on trouvera

B + C(x+ y) + DGSE + xy + y) + etc.

b+c(x<+y) + d(x+ ay + y") + etc.

Si l'on fait x=y, on aura en même temps u =; le

| m un

se réduira, dans cette hypo- | — / ‘

; U développement

thèse, à mu", quelle que soit m , ainsi qu'on le conclurait facilement du n° 80, et l'équation précédente

deviendra tpntatonrn seetipet mails | brdore Ms Cabane... Ce SLR A+ Bx + Cx° + Daf + etc.

a+ bx + cx° + dx + etc, ?

par hypothèse : on aura donc mA+Bx+Cx+DxHetc. LL PUR B+- 2 Cr LBDaë ete. etc. a bx + cx°+ da etc. — bHocx + 3dx? + etc.’

et chassant les dénominateurs,

m(4+Bx+ Cx°+Dx*+Exfetc.)(b+2cx-3dxex etc.) =(B+92Cx+5Dx+4E x*Hetc.)(atbx+cxkdatHexietc.) :

faisant les multiplicätions indiquées, il viendra

mb A+ mbB|x- mbC\x°+ mbD\x+ mbElxi—etc.

+ #B| +sbC| +3bD| +H4bE + cB| oecC| +5cD - ce 2 dC + eB

En comparant les coefliciens des mêmes puissances de x,

on trouvera aB=mbA,

M Atemct, * D Com BL 8mdA, 4aE=(m—5)bD+(2m—2)cC+4(8m—1)dB+4meÀ, 5aF—={(m—4)bE + (am—3)cD+(8m—2)dC+4(4m—1 )eB+5mf A, etc. 4

La loi de ces valeurs est facile à saisir : tous les coefficiens B, C, D, etc., seront déterminés lorsque 4 sera connu ; mais on voit qu'il exprime la valeur du développement quand x — 0, ce qui réduit à a” la fonction proposée (a-bx+0ox°+dx+...)": on a donc 4— a",

En calculant d’après cette valeur, celle des lettres 2, C, D, etc., on trouvera facilement que la puissance m du polynome a--bx+-cx°+dx*+etc., a pour expression

ana m1} gr 1) am—2b2 pre Liu am—3b3

le. XF TA 1.2:8.4,8 bdd LU (m-1)(m=2) mue Nip m(m-1)(m-2)(m-58) 75) abc 1.2.1 We Hit. a tt

m(m-1) a"—2bd

1)m-2)m- 2-2)(m-8) mp4 mn atn- tn DA am—5p5 L° m(m-1)(m- -2) av-3b2d

L'el F9. 1 m(m-1) a—2c? m(m-2)(m+2) a"3bc? =} etc.