etc

posant alors a+b+oe.......... +k +1 =S,, AN DÉ Dh AE €. er, à RL E—S,,

am DE om. hr ms,

on aura

a+bæ+ec..,....... + k = S,— 71, a+ BH c...,...... + kR=S,— P, CRD nd HR Snee ts,

et d’après cette notation, l’équation (1) se changera en

Him

jan NS) D (sin)

7 Sn 2) 554 — m5) H etc. (2).

Ce résultat , exprimant une relation entre les diverses

Comp. des Elém. d’Alg. 13

194 COMPLÉMENT sommes. S,,83,...., Sy:, fera coñfaître la dernière lorsque les autres seront données.

Supposons d'abord m—1, il viendra l—a—=d(Ss,— D); or So= a Hbc... .LRLEPEn:

où Aura donc | l— a = (n —1)o, ou bien l—= a + (n —ar)?, ainsi qu'on l’a obtenu n° 298 des Elémens.

Faisant ensuite M — 2 , On äurà .

P— a = 20 (S, — 1) + MS; 2) ; l— a

et en mettant pour $,— 2°, on trouvera d'où 8, = +40 (ar) (re), A a D SE

et comme /— a + d— nd, on obtiendra

S __n(a+ ) ossi 2 ,

de même que dans le n° 229 des Elémens.

La supposition de m — 3 donnera Ba —3NS, — P) + BUS, —) LAS, — P); subètittant dahs cette équation, pour S,=—2 etf,— /, les valeurs trouvées ci-dessus, elle deviendra

BAS, — 1) Æ FDP — 2) (1 — a) = MT Po UNIT De TIMOR ;

15 as

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 19b

et donnera | L NAME à dire 2 2 se a) AU a?) + à (U— a) __ 2(8 — &$) + BNP + a) EL (1 à) 10100 0D ITU LT ANGES CITE ENT 7

Il est facile, en continuant ainsi, de parvenir aux valeurs de S3, S;, etc.

89. Thomas Simpson a donné aussi un moyen très simple pour obtenir immédiatement la somme des puissances semblables dés termes de la progression par différence, et qui revient à peu près à ce qui suit.

x ‘ ; a+l}n Läasomime des premières puissances étant S gro

s NO % devient 7 + n, lorsqu'on met pour / sa va-

jee a s (n — > l'analogie porte à conclure de là que la somme des puissances du degré m peut être exprimée par An LE Bnr + Car... + Mn, les lettres 4, B, C,....W, désignant des quantités indépendantes de n; on aura donc, dans cette hypothèse, ANT L Bnr + Cr... + Mn = a" (a + SM (a Had)... D Load (n 21399.

Maïs si l’on augmente la progression proposée du terme a+ nd consécutif à a+ (n—1)9, le nombre des termes deviendra alors n 1 ; et substitvant ce dernier au lieu de n, dans le premier tab de l SARA Cidessus, on ous Ana) B(n+4 1)" Ca ) MAD) = a" (a+d)"+(a+2d)".. +{[a+(n- 1)d ]"+(and)"; retranchant de cette dernièré équation celle qui pré- 1%

196 COMPLÉMENT cède , il viendra AT (RAA) Ba) en] 4 CT (41) en] QE +M=(a+ nd".

En développant les deux membres de ce résultat, et en les ordonnant par rapport à n, il prendra la forme

mi, EU PEN Ge mL Cm? D Ant etc.

à 1.259 Re m Bn"ri+ CD pt è —— Cr + etc.

+ etc.

m = din se adMTInMmi LL PNR NE etc.

Égalant entre eux les coefliciens des termes semblables -de chaque membre, on aura

ie (mæ+i1) , = jm % mm 44% B — Fe, + DmG) 4 Mn ppm MGM) pme 1.209 1,2 (m+1)m(m-1)m-0) m{mn-1\m-9) RE jrs 1.2.0.4 "VAS 1.2 5 RTE F2 ca m(mi—1)(m—9) ad m-s,.

WE 1210 etc. ; d'où l’on tirera —— an.

rm Ha

B — adm! — M A

CT 9m LINE ar 17 le CAE: 3 m(m-1) ami m=1 __m(m-i) (nti)n(m1)y ae è 2 o À M id CRE VU etc.

Si dans ces formules on fait successivement m—1, m—2,m—3, etc., que l’on substitue dans l'expression An" HE Bn"+ etc. les valeurs qu’elles donneront pour les coefficiens 4, B, C, etc., et que l’on désigne comme ci-dessus , par $, la somme des premières puissances , S, celles des secondes, S3 celles des troisièmes, etc., on trouvera