j ; 3° ces expressions ont par

, où End

26 COMPLÉMEMT

conséquent les mêmes propriétés que 1,«, 8, yet o), puisqu'elles appartiennent à une équation entièrement semblable à ÿ°— 1 —o: on a donc encore

l 1 1 L d De TS DES Ne DE TES 1 1 1 1 HN MINT 5; etc.

Il est facile de voir que les racines de toutes les équations de la forme y"-- 1 — 0 jouissent de propriétés Rnalpenes à celles qu’on vient d'exposer pour l'équation LE — 10, et qui se prouveraient de la même manière : ainsi, 1,4, 8, y, d',e, etc. , étant les racines de l'équation y*—1==0, on aura

== 1 et D PE QE QU LL et etc, = 0, si m n’est point un multiple de z ; et la même quantité

deviendra égale à 7, lorsque m sera un multiple de 7. La RUE inverse

rs ler a" Tr es

aura les mêmes valeurs: dans les mêmes circonstances.

nr ter - y" SE Je BRUT em pe

16. Quand lexposant 7 est un nombre premier , les racines à, 8, y; ,e,.etc., peuvent toutes se déduire de l’une quelconque d’entre elles; et voici comment # æ , par exemple , étant une racine de yÿ*—1=0,ona

til O,.OU ASS en élevant chaque membre de cette dernière équation à la 2°, à la 3°, à la 4°, etc., puissances, il viendra

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 27 équations qui équivalent aux suivantes :

(æ°*)"—1—0, (æ)—1—0, (at)—1—0, (2°)"—1—0, etc. : d’où l’on voit que # étant une des racines de l’équation *— 1 —0o, autres que l'unité, &°, «° 5, etc

AU 2 q ) 2 2, 8 seront aussi des racines de la même équation. Ilne faut pas croire , d’après ce qui vient d’être dit, que le nombre des racines de l'équation ÿ"— 1 = soit indéfini ; on trouverait bien, à la vérité, que

mL n—+1 n+-2 n+3 MM Un MO Ts 1 11 23e là OÙCe)

ya, @

satisfont à cette équation ; mais

NAT COR ER dE a A AT 4 4 etc.

Lors donc que, dans les élévations indiquées plus haut, on aura passé la puissance 2 , les mêmes résultats reviendront, et dans le même ordre qu'auparavant. Depuis o jusqu’à 2, au contraire, les puissances de « ne donnent que des valeurs différentes, car il ne peut pas

ê y > arriver que = « , tant que et » sont moindres que 7, et que ce nombre est premier. En effet, il en résulterait

du, piseÿ étant <T n; ainsi les équations

— "—1=0o et ÿ"— 10 auraient une racine commune autre que l'unité: or, en cherchant leur plus grand commun diviseur, on trouve seulement y — 1.

Il$uit de là qu’en prenant pour « l’une quelconque des racines de ÿ*—1—0, autres que l'unité, les racines de cette équation ne pourront être que

2 3 1H e À 1 ) œ 2 & ) œ pros ee œ 2 et puisque rl TL TL :

(À por nene+ , 2 me TT cd — — Fe œ LA 2 œ? en 71

ï ; on en conclura que 2 jm ire ms SOnt, dans un où

Ti 1

28 COMPLÉMENT ordre inverse du premier, les expressions des 7 — 1 racines autres que l’uvité. … | En mettant ces valeurs dans celles de $,, et de son inverse rapportée ci-dessus , on aura on V we?" + am, , a Cr—i)m —+ DD. n 1 1

1 + — et 1 am ER D RATES DEL, EUR 9

selon que m ne sera pas ou sera un multiple de n. Il suit encore de ce qui précède, que si dans la série

ô 3 n—1 CCR EEE ,

on substitue, au lieu de #, l’une quelconque de ses puissances autres que l’unité, on n’obtiendra que les mêmes termes , mais placés dans un ordre différent ; car ce n’est que changer la racine & dans une autre qui doit reproduire aussi toutes celles de l’équation proposée , c'est-à-dire les puissances ci-dessus.

Le même chose se prouve encore en Nretpant que les exposans de #, dans la série

late (07 (ra 1)y

Œ , © , œ pe. © 3

étant divisés par 7, afin d'en ôter les multiples de ce nombre, laisseront te tous les nombres depuis 1 jusqu'à 7 — 1 , sans lacune ni répétition, si» <<, proposition qui sera démontrée dans l’un, des articles concernant la théorie des nonrbres.

17. Quand l’exposant de l’équation.à deux termes est un nombre composé, ses racines dépendent des équations semblables ayant pour exposans les facteurs premiers de celui de la proposée. Soit y"æ=1—= 0 celle-ci, et posons m—np, n et p étant deux nombres premiers. Îl est d'abord évident que les racines de chacune ®

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 29 des équations épée à y*—1=0, ÿP—1—= 0; vérifieront la proposée ; car # étant une racine de la première, et 4 une de la seconde, on a nécessairement

pe A 58 Lie 4 , puisque æ*—1, et de même | k PE nt CUS EST

mais en prenant séparément les racines de ces équations pour celles de la proposée, on n’en trouvera en tout que n +p, parmi lesquelles l'unité se présentera deux fois. ‘Il faut, pour obtenir le nombre nécessaire m, combiner de toutes les manières possibles, par voie de multiplication , les n racines de y®— 1 — 0, avec les p tacines de ÿ’—1—o, ce qui donnera np valeurs, qui satisferont à la proposée , puisque A (au')" — 0 —> PP — (27)? (a/Pyr, Toutes ces valeurs seront différantes; car si l’on prend r<n,s<p,etques#et # ne soient pas tous deux égaux à 1, on ne saurait avoir ##°=— #4", puisqu'il en

résulterait #*7'=— ——, et que —— étant racine de œ C2

l'équation yÿ*—1—0, cette équation aurait avec ÿP— 1 —= O une racine commune autre que l'unité, On verra de même que l’on ne peut avoir æx —1.

On n’aura pas non plus (x) — 1 tant qu'on prendra g << m où < np, et que # et #’ différeront tous deux de l’unité ; puisque «1 et #7? ne deviennent pas simultanément 1, lorsque q n'est pas à la fois un multiple den et dep,etiln’y en a pas au-dessous de np. Donc, sous les conditions précédentes, la racine «’ donnera, par ses puissances, toutes les racines de l’équation y"—1=—0o.

‘Enfin, quandm=n* , ontirera de la seule équation

30 COMPLÉMENT y"—1=0, les racines de y"— 1 —0, en observant

que (. 2). —=«"— 1, et mettant dans «+’, au lieu de #,

les n valeurs de Va

Lagrange étend ces diverses remarques aux cas où le nombre m a plus de deux facteurs premiers; mais ce qui précède suffit pour l’objet de cet ouvrage. ( Voyez le Traité de la Résolution des Équations numériques, 2° édit., note XIII , n° 10.) |

18. On a vu ( Elém., 183, note) que la recherche immédiate des racines d’une équation par leurs relation avec ses coefliciens, fait toujours retomber sur la proposée; maïs il n’en serait pas de même si l’on cherchait d’autres fonctions des racines ; et si l’on pouvait trouver de ces fonctions qui dépendissent d'équations d'un degré moins élevé que la proposée , il en résulterait un moyen de résoudre celle-ci, comme on va le voir pour les 2°, 3° et 4° degrés.

Soit d’abord l’équation du second degré

x +pr H+q—=0o;; que a et b représentent ses deux racines : on aura

a+b=—p, ab—q (Elém., 185).

En cherchant à déterminer a.et D par ces deux équations, on trouverait en a ou en b une équation semblable à Ja proposée ; mais si, par quelque moyen que ce fût, on parvenait à obtenir, entre les racines a et b et les coefficiens p et q, une seconde équation du premier degré, on aurait sans peine la valeur desracines. Il fautdone que la fonction des racines qui composera cette équation soit dela forme {a mb; en sorte qu’on ait la mb —2, /, m et z étant des quantités indéterminées.

Cette fonction , /a + mb, est susceptible de deux

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 81 valeurs différentes, en y changeant a en b, et réciproquement ; car on forme par ce moyen les deux expressions /a + mb et 1b Æ ma. Il suit de là, et de ce que l'on a vu n° 8, que la fonction la + mb, ou z, dépend d'une équation du second degré , excepté dans le cas où m=—= ll; car alors elle devient /(aKb), et ne donne que la somme des racines qui est déjà connue.

Puis donc que la fonction cherchée dépend nécessairement d'une équation du second degré, il faut, en disposant convenablement des quantités indéterminées et m, faire en sorte que cette équation soit seulement à deux termes , afin qu'elle puisse se résoudre par une simple extraction de racine. Or, dans une équation du second degré à deux termes, et qui ne contient par conséquént que le quarré de l’inconnue , les deux racines sont nécessairement égales et de signes contraires ; il faut donc qu'entre les quantités /a + mb et 1b L ma, qui sont les racines de celle qu'on cherche, on ait la relation

la + mb = — Ib — ma,

d’où l’on tire

l(a+b)=—m(a+kb), et en divisant tout para,

Cette condition étant la-seule à laquelle il faille satisfaire pour remplir l’objet proposé , je prendrai, pour plus de simplicité , Z=—m — 1; la fonction cherchée

sera donc a— b; et, d'après ce qu'on a vu dans le numéro cité, elle dépendra de l'équation

fz—(a—b)}{z— (b—a)}=o,

52 COMPLÉMENT ou, en développant, | g®— a°— b? Loab — 0.

Or,ona a? L pb — oab = (a + b)— 4ab = p°— 4g;

substituant dans l'équation précédente , il vient

2° = p*— 44, d'où l’on tire 2= + WVp—4q.

Mettant pour z sa valeur a—b, et combinant cette équation ayec celle-ci :

akb=—p, of en tirera , pour & et b , les valeurs

Lep+Vp 4 y; —p—VP—4q GI 4 2 4 À 2 ;

qui sont les mêmes que celles que donne la méthode ordinaire.

19. Pour simplifier les calculs relatifs à l’équation générale du troisième degré, on la suppose privée de son second terme, ce qui lui donne la forme suivante :

a+ pe +q=0; et par des raisonnemens analogues à ceux du n° précédent, on cherche à priori une fonction des racines qui les détermine facilement, et qui dépende d’une équation plus aisée à résoudre que la proposée. La forme la plus simple que l’on puisse donner à cette fonction, est a + mb + nc; et en y changeant entre-elles les racines @, b, c, elle offre six combinaisons différentes

DES ÉLÉMENS PHARGÈBRE, 33

savoir ,

et faisant, pour abréger, aus

la +. mb ce LC AR y mc Es nf 1b + ma nc, QUE, TR ; do. + ma +)nb, (em D mr da AA

ainsi l équation dont elle dépend est du sixième dégré ; mais cette équation deviendrait résoluble à la manière : de celles du second , si elle prenait la forme..:....

254 Az + B=0. Danse cette Pxphhèse; on en.déduirait. £ 2 — — : Fe me Æ 5 he a An À

les trois racines cubiques de | unité étant 1,æ,«°(16), les six valeurs de z seraient ma

Gi NE. Ar, 2, : dr.

\ Prenant donc deux 5 valeurs de la fonction!

la + mb + nc, pour les pH let 2" fonts

par exemple,