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et ainsi de suite.

La fraction qui accompagne l'entier a dans cette ex pression, semblable à celles que nous avons fait connaître en Arithmétique (163), est une fraction continue } et l’on comprend en général sous ce nom toute fraction dont le dénominateur est composé d’un entier plus une fraction, laquelle a encore pour dénominateur un entier plus une fraction , ét ainsi dé suite.

On rencontre les fractions continues sous deux formes différentes : les unes ont, comme la précédente, unité à tous les numérateurs des fractions 2ntégrantes, et les autres ont des dénominateurs et des numérateurs

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE, 241 quelconques ; telle est la suivante :

= Ans b a+ —c qe d eupe | + etc. ;

maïs je ne m'occuperai que des premières, les autres étant plus curieuses qu'utiles.

118. En rapprochant le n° 163 de l’Arithmélique et les n°° 221 et 243 des Elémens, on voit que les « fractions » continues se présentent naturellement toutes les fois » qu'il s’agit d'exprimer en nombre, des quantités qu'on » ne peut obtenir que par des approximations succes- » sives. En effet, supposons qu’on ait à évaluer une » quantité quelconque donnée a, qui ne soit pas ex- » primable par un nombre entier ; la voie la plus'simple » est de commencer par chercher le nombre entier qui » sera le plus proche de la valeur de a, et qui n’en diffé- » rera que par une fraction moindre que l'unité. Soit » ce nombre &, et l’on aura « — « égal à une fraction

us in re 1 » plus petite que l’unité ; de sorte que x sera au

» contraire un nombre plus grand que l'unité, Soit donc 1 na » ————b, et comme b doit être un nombre plus grand a— a » que l'unité, on pourra chercher de même le nombre » entier qui approchera le plus de la valeur de b: et ce » nombre étant nommé 8, on aura de nouveau b — 8 » égal à une fraction plus petite que l'unité, et par con-

, : 7 x 2 » séquent > 3 sera égal à une quantité plus grande

» ‘que l'unité, qu'on pourra désigner par c : ainsi, pour -» évaluer c, il n’y aura qu’à chercher pareillement le » nombre entier le plus proche de c, lequel étant dé-

Compl. des Elém. d’Alo. 16

signé par y, on aura c—"y égal à une quantité plus . , ., 7 1 , petite que l'unité, et par conséquent EN sera égal

à une quantité d plus grande que l'unité , et ainsi de suite. Par ce moyen, il est clair qu'on doit épuiser peu à peu la valeur de a, et cela, de la manière la ‘plus simple et la plus prompte qu'il est possible , puisqu'on n’emploie que des nombres entiers dont chacun approche , autant qu'il est possible, de la

valeur cherchée.

LE nt

» Maintenant , puisque GT b, on aura

1 1 a—ma—-r et a—=&a +3;

: | | de-même, à cause de Fra PR on aura b=8B +;

: ] ; Te et à cause de TS = d, on aura pareïllement…, TN

et ainsi de suite ; de sorte qu’en substituant successie vement ces valeurs, on aura |

a=a+} = à + - 1 Te tre Le:

et'en général ,