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743 + etc.

1ig. » Il est bon de remarquer ici que les nombres æ, B,"y, etc., qui représentent, Comme nous venons de le voir, les valeurs entières approchées des quan< tités a, b,c, etc., peuvent être pris chacun de deux manières ‘lifférentes , puisqu'on peut prendre également pour la valeur entière approchée d’une quantité donnée, l’un ou l’autre des deux norbres entiers entre lesquels se trouve cette quantité; il y a cependant une différence essentielle entre ces deux manières de prendre les valeurs approchées, par rapport à la fraction continue qui en résulte; car si l'on prend toujours les valeurs approchées plus petites que les véritables , les dénominateurs 8, +, à, etc., seront tous positifs , au lieu qu'ils seront tous négatifs, si l'on prend les valeurs approchées toutes plus grandes que les véritables, et ils seront en partie positifs et en partie négatifs, si les valeurs approchées sont prises tantôt trop petites et tantôt-trop grandes.

» En effet , si « est plus petit que a, a — « sera une quantité positive; donc b sera positif, et 8 le sera aussi; au contraire, a—* sera négatif, si & est plus grand que a : donc b sera négatif, et 8 le sera aussi, De même, si 8 est plus petit que b, b— & sera tou+ jours une quantité positive ; donc c le sera aussi, et par conséquent aussi y; mais si 8 est plus grand que b, b— B sera une quantité négative ; de sorte.que c, et par conséquent aussi 7, seront négatifs , et ainsi de suite.

»- Au reste, lorsqu'il s’agit de quantités négatives, j'entends par quantités plus petites celles qui, prises

positivement, seraient plus grandes.

120. » Je dois remarquer encore que si parmi les quantités a,b,c, d, etc. , il s’en trouve une qui soit égale à un nombre entier, alors la fraction continue

sera terminée, parce qu'on pourra y conserver cette

quantité même, Par exemple , si c est un nombre entier, la fraction continue qui donne la valeur de a sera

ae YA à

» En effet, il est clair qu’il faudrait prendrey = ec,

ce qui donnerait 1 1 | d— —-—= 00 (1 C—y O0 et par conséquent à — co; de sorte que l'on aurait

OO les termes suivans s’évanouissant vis-à-vis de la quan-

aa I B+-

» Ce cas arrivera toutes les fois que la quantité a sera commensurable, c’est-à-dire qu’elle sera exprimée par une fraction rationnelle; mais lorsque a sera une quantité irrationnelle , alors la fraction continue ira nécessairement à l'infini.