Supposons que la quantité a soit une expression
au. ; 1 A 4 » fractionnaire — , 4 et B étant des nombres entiers don-
(*) Le caractère © est, comme on voit, celui dont les analystes se
servent pour désigner une quantité infinie, ou ce que devient une fraction dont le dénominateur s’évanouit (Elém., 68).
nés; il est d'abord évident que le nombre entier « : A
» qui approchera le plus de Z sera le quotient de la
» division de 4 par B, faite à l’ordinaire ; ainsi, en » nommant & ce quotient et C le reste, on aura
A C | 5 =3%;: donc b——.
» Pour avoir de même la valeur entière approchée 8
» de la fraction fe il n'y aura qu'à diviser B par C, et
C 2 prendre pour 8 le quotient de éette division; alors nommant D le reste, on aura
b—B— 2 et par conséquent, c= 2:
» puis on divisera C par D; le quotient sera la valeur » du nombre y, et ainsi de suite ; d’où résulte cette » règle fort simple pour réduire les fractions ordinaires » en fractions continues :
» Divisez d'abord le numérateur de la fraction pro- ” posée, par son dénominateur, et nommez le quotient » æ; divisez ensuite le dénominateur par le reste , et » nommez le quotient B; divisez après cela le premier » reste par Le second reste, et soit le quotient y; con- » tinuez ainsi en divisant toujours l'avant- dernier » reste par Le dernier, jusqu'a ce qu'il se présente une di- » vision qui se fasse sans reste, ce qui doit nécessaire- » ment arriver, puisque les restes sont tous des nombres » entiers quivont en diminuant; vous aurez la fraction » continue
es
» qui sexa égale à la fraction donnée. »
122. Cette règle est précisément celle qu'il faut suivre pour trouver le plus gränd commun diviseur des nombres 4 et B Carith., 61). Si l’on suppose que Nb tion se termine à la 5° division, on aura
DEC) Dreen.
| je in er D SEE, 2 à : VE = 4
équations au moyen desquelles on remontera de la valeur de E à celles de 4 et de B, dont le dernier reste F sera le plus grand commun biens |
En appliquant ce procédé à la fraction 224 (Ari. métique, 165), on trouvera les quotiens |
avec lesquels « on formera la fraction continue
1109 +. AR | RE Ted 8 mA 2 à SA hp ne ner à re 2
SE ge
123, » Comme dans la manière cts dé fatre les » divisions, on prend toujours pour quotient le nombre » entier moindre que sa valeurexacte oùtout au plus égal » à cette valeur, il s'ensuit que, par la méthode préce- » dente ,,on n'aura que des fractions continues dont tous » les dénominateurs seront des nombres positifs.
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 347 # Or, ôn peut aussi prendre pour quotient le nombre entier qui est immédiatement plus grand :que la valeur exacte, lorsque cette valeur n'est pas réduc. tible à un nombre entier; et, pour cela, il n’y a qu’à. augmenter d’une unité la valeur du quotient trouvé à la manière ordinaire ; alors le reête sera négatif, et le quotient suivant sera nécessairement négatif. Ainsi
l'on pourra, à volonté, rendre les termes de la frac
tion-continue positifs ou négatifs.
.» Dans l'exemple précédent, au lieu de prendre 1 pour
EL
le quotient de 1105 divisé par 887, je puis prendre 2; mais j'aurai le reste négatif —671, par lequel il faudra maintenant diviser 887 : on divisera donc :887 par — 671, et l’on aura ou le quotient —1etlereste 216, ou le quotient — 2 et le reste — 455. Prenons le quotient plus grand —r,, et alors il faudra diviser le reste — 671 par le reste 216, d’où l’on aura ou le quotient — 5,et le reste — 23, ou le quotient — 4 et le reste 192. Je continue la division en adoptant:le quotient plus grand —3; j'aurai à diviser le reste 316 par le reste — 23, ce qui me donnera ou le quotient — g et le reste 9, ou le quotient —10etle reste — 14; et ainsi de suite.
» De cette manière , on aura
nn.
NT ra rue 9 ib ete.
où l’on voit que tous. les dénominateurs sont toit Fe 124. » On peut au reste rendre positif chaque dénominateur négatif, en changeant le signe du numérateur ; mais il faut alors changer aussi le’signe du numérateur suivant; car il est clair qu’on,a
1 DE, E & + — 1 DE RS di — } — Jus j— # z + etc. m + etc.
ss
LA
Le La
» Ensuite on pourra, si l’on veut; faire disparaître tous les signes — de la fraction continue , et là réduire à une autre où tous les termes ace? positifs ; carona en général
BE pot pis
commé on peut s’en convaincre aisément, en réduisant ces deux quantités en fractions ordinaires.
» On pourrait aussi, par un moyen semblable, introduire des termes négatifs à la place des positifs ; car oï a
| y — 1 + etc.,
d'où l'on voit que, par ces sortes de transformations, on peut quelquefois simplifier une fraction continue, et la réduire à un moindre nombre de termés , ce qui aura lieu toutes les fois qu'il ÿ aura des dénominateurs égaux à l’unité positive ou négative,
» En général, il est clair que, pour avoir la fraction continue la plus convergente qu'il est possible vers la valeur de la quantité donnée, il faut toujours prendre pour &, 8, y, etc., les nombres.entiers qui approchent le plus des quantités a, b,c, etc., soit qu'ils soient plus petits ou plus grands que ces quantités : or, il est facile de voir que si, par exemple, on ne prend pas pour æ& le nombre entier qui approche le plus soit
— [ce 4 L ——, — 1 HT dark à HT 1
‘en.excès ou en défaut , de a, le nombre suivant 8 sera
nécessairement égal à Tr unité. En effet, la différence
entré a.et « sera alors plus grande que +, par consé-
quent on aura b— SR plus pétit que 2 : donc 8 ne
pourra être qu'égal à l'unité.
:9 Ainsi; toutes les fois que; dans une fraction con-
» tinue; on trouvera des dénominateurs égaux à l'unité,
» cessera une mârque que l’on n’a pas pris les dénomi-
» nateurs précédens aussi approchans qu’il est possible,
» «et que par conséquent la fraction peut se simplifier en
» augmentant ou en diminuant ces dénominateurs d’une
» unité; ce qu'on pourra exécuter par les formules pré-
” ea a , sans être DRE de refaire en entier le » calcul.
195, # La méthode du n° 121 peut servir aussi à ré- » duireen fraction continue toute quantité quelconque, » pourvu qu'elle soit auparavant exprimée en déci- » males; mais comme la valeur en décimales ne peut » être qu'approchée, et qu'en augmentant d’une unité » lé dernier caractère, on a deux limites entre lesquelles » doit se trouver la vraie valeur de la quantité propo- » sée, il faudra, pour ne pas sortir de ces limites, faire » à la fois lé même calcul sur les deux fractions dont » il s’agit, ét n'admettre ensuite dans là fraction conti- », nue-que les quotiens qui résulteront également des »deux opérations. » | Si, par exemple , il s’agit d’ exprimer en fraction continue la racine quarrée de 2 , dont la valeur en décimales est entre 1,414213 et 1,414214, on aura à réduire en fractions continues les fractions ordinaires suivantes : #t42t, Ht422: On trouvera pour toutes deux les 6 premiers quotiens égaux à 2 ; mais le 7° serait 3 pour l'une et 1 pour l'autre : où a donc, de cette manière, HE |
V2=1+ ss a
Au reste, il est à propos de remarquer que, quelque
nombre de décimales qu’on ait dans la valeur de la racine quarrée de 2, la fraction continue conserve la même forme , comme on'le prouvera plus loin.
‘ « L'expression! décimale du rapport de ‘la cir-
rh
conférence au diamètre est, par le calcul de Viète, 3.,1415926535, ....... de sorte qu'on aura la
fraction 214152265235 4 ‘réduire en fraction continue
par la méthode ci-dessus : or, si l'on ne prend que la fraction 545%, on trouve les quotiens 3, 7, 15, 1,etc.; et si l'on prenait la fraction plus grande: Siar6e ; On trouverait les quotiens 3, 7, 16, etc., de sorte, LUE le troisième quotient demeurerait incertain ; d' où. l’on voit que pour pouvoir pousser seulement ts fraction continue au-delà de trois termes, il faudra. nécessairement: adopter une, valeur de, la circonférence qui ait plus de six caractères. , NE
». Si l'on prend la valeur dons par Ludolph {Van
Ceulen) en trente-cinq caractères ,et qui est
: 3,14159 26555 89703 23846 26433: 83279 Bo288, -
qu'on augmente d'uné unité le dernier caractère 8, et qu'on opère en même temps sur l'une et l'ûtre valeur, on trouvera cette suite de quotiens, 3, 7, rai CEE, SUITE ER
, 84, 2 otre 58,14, 2, 6; HEC dns
que l’on aura
dirconfe 1200 ; s' diamètre 7+— dis ne LS 2 292L+ 1.
