PS TR
Oo \E hear “TD.
Le 1 + etc.
» Comme il y a ici nr dénominateurs égaux à l'unité, dn pourra simplifier la fraction, en y intro-
» duisant des termes négatifs, par les formules du » n°124, et l'on trouvera | circonf. __ NÉLÉNE diamètre — 7h —> ÿ | 74 16—— 1 | AL !
| 3 + 'etc., ».ou bien circonf. 1 diamètre 7 +— 16 + PAT AT 1 DCS CE LM AU, 196. » Après avoir expliqué la génération des frac- » tions continues , nous allons en montrer les usages et
les principales propriétés.
» Il est d’abord évident que plus on prend de termes dans une fraction continue , plus on doit approcher de la vraie valeur de la quantité qu’on a exprimée par cette fraction ; de sorte que si l’on s'arrête successivement à chaque terme de la fraction , on aura une suite de quantités qui seront nécessairement convergentes vers la quantité proposée.
» Ainsi, ayant réduit la valeur de a à la fraction continue
Tru
d' etc. FA on aura les ue a+ «+3 | 14 etc.
ou bien, en Re ( y aB+a,, ay +aty 7 AE A AÉRPD eu
qui approcheront de av: en plus de Ja rés de «.
el.)
» Pour pouvoir mieux juger de la-loi et de la con
» vergence de ces quantités , nous remarquerons que,
par les formules du n° 118,ona
a=a+z, b= s'ae = C= =y+5, d= += ,etc.;
» d’où l’on voit d’abord que «est la première valeur ap-
LA
prochée de a; qu’ensuite, si l’on prend la valeur exacte
! b+1 : ; de a, qui est Le , et qu'on y substitue pour b sa
valeur approchée 8, on aura cette valeur plus appro-
, 4B-H1 chée r
valeur plus approchée de a ; en mettant d'abord pour
» qu'on aura de même une troisième
b sa valeur exacte Ê
1 e ÿ ‘ y Ce qui donne
— CfHic+e, Bc +1
et prenant ensuite pour c là valeur approchée; par
ce moyen , la nouvelle valeur approchée de a sera
(B+1)7+e, He TUE continuant le même raisonnement, on pourra appro-
cher davantage, en mettant dans l'expression de a trouvée ci-dessus, à la place de c, sa valeur exacte
gs , Ce qui donnera .
__ EG8+1) y+a]dæ+ es Li +1
(&y Hijd+8 à Au,
et prenant ensuite pour d'sa valeur approchée d'; de sorte qu’on aura pour la quatrième approximation la
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE, 253 » quantité ; C8+1)y+alS test G+Di+e . Cela posé , si l’on représente par | in tn :
les quatre valeurs approchées de a, formées ci-dessus, on yoit aisément que
Es AE, B = AB +1, BEEN, C = By + À, C = By + 4’, D = CC +B, D = Cd + B,
et à partir de la troisième ligne de cette suite de yaleurs, on reconnaît une loi dont il est facile de constater la continuation indéfinie. En effet, la valeur exacte de a, rapportée au bas de la page précédente , devenant par cette.notation
donne cette nouvelle valeur exacte,
c(o+! he: (CY + Bje+ C De +C.
cE té j Lr MICAEP EC DeLc
expression de même forme que la précédente , qui devient la cinquième valeur approchée , quand on y met # au lieu de e, et qu'on peut représenter alors HS ie | par 27, Si l'on fait EDitC: EE DL.
La marche de ces calculs ne pouvant plus Gene , il s'ensuit que
Le numérateur de l'une quelconque des valeurs epprochées qu'on nomme aussi fractions convergentes , se forme en multipliant l'entier du dénominateur de la fraction intégrante à laquelle on s'arrête, par le numérateur de la fraction convergente qui précède celle qu'on cherche, et en ajoutant au produit le numérateur de la pénultième; il en est de méme du dénominateur.
Les deux premières fractions convergentes vers = étant + et 5 (129), la règle ci-dessus donnera, pour la 8° et la 4°, L
et ainsi des autres.
« Si la quantité a est rationnelle et représentée par
a il est évident que cette » fraction sera toujours la dernière dans la série précé- » dente; puisque dans ce cas la fraction continue sera » terminée, et que la dernière fraction de la série ci- » dessus doit toujours équivaloir à toute la fraction » continue.
» Mais si la quantité a est irrationnelle , alors la » fraction continue allant nécessairement à l'infini, on » pourra aussi POUR à l'infini la série des fractions » convergentes.
» une fraction quelconque
197. » Examinons maintenant la nature de ces frac- » tions; et d'abord il est visible que les nombres À, » B, C, etc., doivent aller en augmentant, aussi bien » que les nombres 4”, B", €”, etc.; car, 1°. si les » nombres &, B,7, etc., sont tous positifs, les nom- » bres 4, B,C,etc., 4’, B', C', etc. , seront aussi » tous positifs, et l’on aura évidemment
