Supposons, par exemple, que y soit =#, on aura

C=4B+A et C'=41 +4, A M

ét on pourra insérer entre les fractions —; PL et = ç Uois fractions intermédiaires, qui seront

pd BOL AN TER LUS

B'+ 47 9B'+ A4" 3B'+ 4° » 11 est clair que les dénominateurs de ces fractions forment une suite croissante par des différences égales, depuis 4’ jusqu’à C”, et les numérateurs depuis A jusqu’à C; et nous allons voir que les fractions elles-mêmes croissent aussi continuellement depuis

- \ C , . e e 1 jusqu'à —,, en sorte qu il serait maintenant im-

» possible d'insérer dans la série

A as 2B + À 3B+A 4B+A, 4° BEA’ 2B +4 5B4A° {BA De

» aucune fraction dont la valeur tombât entre celles des.

DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 265 » deux fractions consécutives, et dont le dénominateur » se trouvât aussi entre ceux des mêmes fractions ; car » si l’on prend les différences entre les fractions pré- » cédentes, on aura, à cause de B4'— 4B'—\1,

B + A A1: 1 DORA CAN AB) 2B+A B+A. 1 2H AT BL A (BL AÏGBEA) 8B + 4 2B4+A 1 5B+ 4 92B+A4 (2B+4(G3B+4)

C 3B + 4 1 C' EU BEL A Tr (3B' + ATOS

B + A 4” B+Â"" » vont en augmentant, puisque leurs différences sont » toutes positives. Ensuite, comme ces différences sont 7 3 4 79 , ? sav, À b Va .

» égales à l’unité divisée par le produit des deux dénomi- » nateurs, on pourra prouver, par un raisonnement ana= » logue à celui que nous avons fait dans le n° 128, qu’il » est impossible qu'entre deux fractions consécutives de » la série précédente, il puisse tomber une fraction quel-

» d’où l’on voit d’abord que les fractions tc.

417 L 2 * » conque +, si le dénominateur n tombe entre les déno-

» minateurs de ces fractions, ou, en général, s’il est » plus petit que le plus grand des deux dénominateurs.

» De plus, comme les fractions dont‘nous parlons » sont toutes plus petites que la vraie valeur de a , et

VLULA RENÉE LE

» que la fraction 7 st plus grande , il est évident » que chacune de ces fractions approchera de la quan- » tité a, en sorte que la différence en sera plus petite n que celle de la même fraction et de la fraction

B N 7 Or, on trouve

A «1 ts 1 ge An el à à es B + 4 Hs 1 BR AR OT NO RER 2B + 4 DS 1 2B' JE À API (BP ANM 3B + A FAR 1 SE LE UE TIR" TN (SRE NC He ‘ho GNT TL RU

donc, puisque ces différences sont aussi égales à l'unité divisée par le produit des dénominateurs, on y pourra appliquer le même raisonnement du n° 128,

» e mr 0] pour prouver qu'aucune fraction — ne saurait tomber

A NSIEUA entre une quelconque des fractions 7° FE 4°?

2B + À B Nage a B'?

teur 7 est plus petit que celui de la même fraction; d’où il suit que chacune de ces fractions approche plus de la quantité a que ne pourrait faire toute autre fraction plus petite que a , et qui aurait un dénomi- , nateur plus petit, c'est-à- ie qui serait MAT en termes plus simples,

etc. , et la fraction si le dénomina-