TH Y

et quelque valeur qu'on donnât à y,on en trouverait une pour æy mais en se bornant à ne prendre pour l’une et l’autre de ces inconnues que des nombres entiers positifs, il est évident qu’on ne peut avoir que les neuf solutions suivantes :

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 291 # 0 a 5,8, TA TES Gp, 8100, y = 9, 8, 7; 6, Ds 41002, 11, et les quatre dernières ne doivent FR être regardées comme différentes des quatre premières, puisqu'il suffit de changer x en y potr rendre celles-ci identiques avec les autres.

L’exclusion donnée aux nombres négatifs et fractionnaires ne limite pas toujours le nombre des solutions des problèmes indéterminés ; maïs il faut souvent recourir à des artifices d'analyse très remarquables , pour ne tomber jamais que sur des valeurs entières et positives des inconnues.

L’équation du premier degré à deux inconnues peut être représentée par à ax + by — a, b, c étant des nombres entiers donnés. Il faut que les deux premiers , & et b, n'aient aucun facteur com-

mun, à moins que ce facteur ne le soit aussi du troisième., En effet , si l’on avait

a == km, b — kn, il en résulterait

kmx + kny—c ou mx<+ny= =

et il serait par conséquent impossible que x et y Fussent des nombres entiers, si c n’était pas divisible par k. L'équation ax + by — c ne demande aucune préparation , lorsque l’un des coeëfliciens a ou b est égal à l'unité; car soit a —1, on a sur-le-champ x = C=by,

et ne prenant pour y que des nombres entiers, onn'en trouvera non plus que de tels pour x.

i46. Oécupons-nous donc du cas général , et suppo-

292 COMPLÉMENT sons que dans l'équation ax + by —=c, on ait a< b. Soit ma le plus grand des multiples de a que puisse contenir b, en sorte que b — ma +- r, r étant moindre que a, il Éd

ax + may -Hry=c, ou ax Em) ec.

Faisons x + my—=t, nous aurons

ry+at=c.

Si r était l'unité, la question serait résolue, car on aurait alors les équations

æ+my=t et y+ai=c, desquelles on tirerait T—i— my, Y—=c—ai,. :

qui donneraient par conséquent des nombres entiers pour æ et y, en prenant de pareils nombres pour f. Si r surpasse l'unité, nous aurons, à cause der <a,

a=mr+r,

mr étant le plus grand multiple de r que puisse contenir a; et substituant cette expression dans ENTRE Ty + at —=c, nous trouverons

ry+mrt+ri=c, ou ED ASE nous ferons SPAS ce qui donnera r'ÉH ru = c:

nous aurons donc les équations xHmy=t, y+mt=u, rt+ru=c, qui, sir—1, donneront | 31 x—t— my, y—=u— mt, t—Cc—Tu; et prenant pour # un nombrelentier, on en déduira

aussi des valeurs de #, de y et de x, en nombres’entiers. . [4 " , ., e r 4 19 Si r’ surpasse l'unité, il faudra opérer sur la dernière

équation; rt+ru= c,comme sur les précédentes ; ; et pe r' ést. < r, On aura

A s, , r=mTr Hi",

m'r' étant le plus grand multiple de 7’ que puisse con-

tenir r. Par cette expression, l’ savatipp É Ua +ru=cse changera en

(mu) + re UT faisant t Æ m'u —#v, on aura À r'ubrv=c,

et dans le cas où r” serait égal à l’unité, il en résulterait les équations

x+my=l ; y+m't=u , tm'u=v, u+rv—= C, dont on tirerait —=t—my, y=u—-mt, t= v—m"u AR — or R

valeurs qui seront toujours entières, si v est un nombre entier.

Il est facile de voir que ce procédé conduira nécessairement à une équation dans laquelle l’une des inconnues aura l’unité-pour coefficient , car les valeurs de r,1,1",..... sobtiennent par la même opération que celle qu'il faüdrait faire pour trouver le plus. grand commun diviseur des deux nombres b et.a,.et qui donnerait pour dernier résultat l'unité , puisque, ces nomrbres sont Des entre eux. En effet, dans. la site

des expressions : | s Auou G {19 Y

b=ma+r, Dr eh RES fnir SET Héron r est le reste de’ me de b par a, r' celui de la

division de « par r, r celui de la division der par r/, et ainsi de suite.

147. Je prends pour premier exemple cette question : Quelqu'un qui n’a que des pièces de, 5 fr.let des pièces de 24, se propose de payer une somme de 109 fr. ; combien doit-il donner des unes et des autres ?

Soit x le nombre des pièces de 5 francs ; ds (cet des pièces de 24; il viendra

tee EE 1095, À on aura dans ce cas | G =D, b=a4, € TON) et Jon trouvera . | M—=A, T—=4, m'=1, po n éé qui donnera | | FL AE y +i=u, t+ {ui 68 "0?

d'où l’on déduira PER OEM De uthir er ÿ RE A PER AR ET 7 | remontänt de ÿ rate: de t à iceiles de 3 et Ad x on trouvera enfin | EE FE y=5u— 109, pe ul

li à. Ste À

Pour ne’liter de ces valeurs que des résultats! positifs sil faut he prendre pour w que des nombres tels, qu'on ait 5u°> "169 et o4u.<< 545 ; ces nombres doivent donc ‘êtré éompris entre !21 et 545 | c’est-à-dire 21 et 23;il n'yenapar D nent di ‘4 seul , savoir, 22, En supposant u7—=122;; on : 4

8 DURS € et + if

‘et, en effet, 17 pièces de 5 fn font 85’ flancs sa, ajoutées avec 24, donnent 109. at,

Î - DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 295 La quebtion ci- dessus revient 4 pärtager le nombre

109 en déux parties , | dont l'une Soit divisible par 5 et l'autre par 24; et ce cas particulier est. remarquable en ce- que. le problème est déterminé et n’a qu’une seule solution, lorsqu' on exclut les nombres fractionnaires, et les no rés négatifs : il n° en est pas de même de la question suivante.

148: Quelqu'un achète des chevaux ét des uk $ il paie! les uns 31 piècés de 5 francs chaque; et les autres 20} et 1l se trouve que le prix total déS bœufs surpasse, da de Riot celut des DEL combien pou-

UAITS

proies ou ao yes 75 ln su dans le cas s actuel, on AE at 20, Dé ak GE=1 © 0h agllo)

et il en résulte par conséquent

mer, es et LU m1 > T= #9, me mt | nn LA met NÉE mb MONS

te D L'ORES ALE19 IQ HO ue DAS Lo

T—y—=t, y—t=u y UV SU AVE et il viendra en dernier liéw + »s

} ‘ : Wir 2 ann : Hiver ge \» “pdish

ce qui donne, en remontant aux valeurs de J et de x!

v—=7 +0, eh Le 1e 155 au, y=65+20w, x = 98 +31w: ! |

Rien ne limite ici les valeurs dé x et celles de y, qui

296 COMPLÉMENT sont, positives , lors même qu’on donne à w les valeurs négatives —8,—2, 1; etsi l'on fait successivement

W= —3,0on trouve y ee 7 D UM ES, LL» D — 93 — 56 #* = —i1 .n. = 43 = ,67 ie a A ET ET de 1 — 83 — 129 VTT 2 + ENS ê — 103... —= 1160 = 3 «MT 4 do:

tic BEC Ever €) r etc. etc.-

Les valeurs de : y et cêlles ses x font, comme l’on voit, deux progressions par différence ; Fe la progression relative à y, la différence est égale au coefficient dex, et dans la progression relative à x, la différence est égale au coefficient de‘y. Il'est Bla de s'assurer que cette circonstance a toujours lieu; il suflit pour sie de remonter des valeurs générales de v,u,t (146),

celles de x ët-de y; mais on tva le voirencore ns simplement.

.-149.'Si l'on connaissait à priori, ou. qu’on eût trouvé par hasard, une solution d’une équation indéterminée, on pourrait en obtenir une infinité d’autres , ainsi qu il suit, Soit x —«, y— 8 les deux valeurs données: oh

auça-par\hypothèse- ; 1; —i;w 42%

La FR

aa, + BB scsi bonté tbaten

retranchant cette équation de la proposée ax TE a il viendra

d'où le on tireraL. à.

IH e 4 }\ ia ECC EE

mais puisque les nombres aetb soñt premiers entre eux,

bei la quantité = = (8- —— y) ne peut être entière, à moins que

— y ne soit un multiple de &, condition qu’on rem ur en faisant 8 — y — pa, p étant un nombre quel-

conque : par Ce moyen, on aura, pour déterminer x et 2 les déux équations

-T—a—=pb, — y— pa,

qui donneront

PEL Y=Ê— pa,

Ces expressions prouvent d’une manière très simple que

les valeurs de x et de y doivent former des progressions par différence, telles qu’il a été dit plus haut.

150. La théorie des fractions Ar Pr tes po la solution immédiate de l’ équation ax — OV pe à car si l'on suppose d’abord ç — 1.,.que l'on Fra

. € j . e , LA la fraction — en fraction. continue , et qu’on représente

puis multipliant les deux membres de cette equation parc, on aurà FR ;9 ft

«tt-h goût: cn + Dome".

Ainsi on pourra prendre + — cn; y — cm ; on aura de cette manière deux multiples de a et de H qui di ifféreront entre eux de la quantité donnée Æ c.