La méthode exposée n° :146 est générale , et
s'applique à quelque. nombre d'équations que ce soit. Voici un exemple qui en présente troisé trouver un nombre qui, étant divisé par 2, ‘donné. pour reste +, étant divisé par 3, donne pour. resta 2, et; étant divisé par. 5 ,.donne pour reste 3.. Soit, N Le, nombre. chetchée, etx, Ph Zindes, quotiens, respectifs . qu'il.donne lorsqu'il est Mines par 2, par 3.et par,5 ;:äl suit de l'énoncé ci- dessus ,que
N—=ox +1, © N—3y+o, N—= > 52 +5;
NA re
équations qui se réduisent immédiatement à
22 +12 8y + 0, eu ou à. HiXD::4 27 3, By— Bai MAS
‘On résoudra d'abord la première de celles-ci comimé si elle était seule, et l'on trouvera St ST LS
: Ls Ji
VE -a 2 Bis 113:
substituant la valéur de y dans la seconde, elle deviendra si: ro'ap 19 984 loge se jp lt 1e OMGoET nouvelle équation qu’il faudra résoudre ;.on en tirera 32—t=u, —Su+ir4 M :
et par conséquent z=œu—+tt, = Su +,4.
En remontant aux valeurs de z, de y ebde:x, onaura z—6uté, y—ioud7,uæ—1bu+ai,
et l’une des équations PEORP4f# sÙ sr: 0 rh 1; par - exemple , donnera
N = 3ou 4 23,
;La plus petite valeur ‘que puisse avoir 2V s'obtient en
faisant u—0; il vient alors N= 23, nombre qui , étant
sa ar2, par. 3, et par 5, donne en effet pour restes » 2 2 ‘Cet exemple) qu oïque fort simple, montre assez coMment il faut opérér dans les cas plus compliqués. Le lecteur pourra s'éxercer éncore sûr les deux équations
°8% + Sy 72660 à ot 2By + 492 = 772900; il trouvera, en éliminant : z, cette équation | 122€ + 10y — = 1000,
qu on simplifie en divisant tous ses termes par 2,et qui donne
6x + 5y = Boo.
Faisant ensuite x+y—#, il vient x+5t—5oo, où &= 500 — Et, y 61500;
mettant pour x et pour y ces valeurs dans la première des équations proposées , qui est la plus simple, on aura - à ER ap:
| 72 + 1bt — 1560:
en résolvant cette dernière, on obtiendra
15 — 3190; 8860 — dau, 35u — 7300 ;
8 & & nc IHOI
‘ét Von n'aura que deux solutions entières et positives, savoir, en prenant w—209 ét w== 9210, car u'doit être > et HR.
bé Si: lbu avait une édngtiqui à Ft. inconnues , ax» by + cx —1d; "on passerait le terme cz dans
300 COMPLÉMENT l'autre membre, et il viendrait Ti ax + by — d — cz; Li on ferait d—c2— c, et on n’aurait plus à traiter que l'équation ax + by =. Lorsqu'on serait parvenu à l'équation dans laquelle l’une des inconnues n’a pour coefficient que l'unité, on remonterait successivement aux valeurs de x et de y, en substituant d-—cz à la place de c’; et en supposant que v fût la dernière des inconnues auxiliaires (146), l'expression de x et de y renfermerait alors deux nombres entiers, et z, qu’on pourrait prendre arbitrairement. s 1
Soit 5x+8y+y7z—5o; on a, d'après ce qui
précède,
5x + 8y —=150 — 72 = c’, et en faisant a—65, b—8, on trouve ml, RES GSTNE= Li MES A! m'=1, = 1, ce qui donne “1
zH+y=t, y+i=u, t+u—=y, u + av —=0c", d’où l’on tire Hoi il u—c'—9v, t—3v—c, y—2c—5v, x—=8v—53c", et remettant pour c’ sa valeur, on a enfin Y —=100 — 142 —5Y, x—8v+921z—i1bo,
expressions dans lesquelles on pourra prendre z etw arbitrairement, maïs de manière cependant à ne donner pour x et pour y que des valeurs positives. »,
153. La difliculté de trouver des solutions, soit entières, soit au: moins rationnelles, dans les problèmes indéterminés qui passent le premier degré, est beaucoup
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 301 plus grande que celle d'obtenir des nombres entiers dans les problèmes de ce degré; c’est pourquoi je ne m'arrêterai que sur un petit nombre de cas les plus simples.
Je m’occuperai d’abord de l'équation
py = a + bx + cx°+ dx + ext... Lhxm,
dans laquelle y ne passe pas le premier degré, et qui donne | __a+bx + ce + dx... .+ ha nue stp cuit NE
Il est facile de voir que lorsqu'on connaît une seule solution de cette équation, on en peut trouver une infinité d’autres ; car si la supposition de x—« rend la quantité
a+bxz+cx+dx....+hx"
divisible par p, tous les nombres compris dans la formule æ + np jouiront aussi. de la même propriété, puisque par leur substitution, au lieu de x, la quantité
a + bx + cx° + dx? + etc., prendra la forme a + ba + ca? + das + etc. + Anp + Bn°p° + etc.,
et que la partie a + ba + ca? + da’ + etc., est divisible par p, d'après l'hypothèse.
Ce qui précède prouve encore que si le problème proposé peut se résoudre en nombres entiers , il y aura nécessairement une ou plusieurs solutions entre
P ét a car si & était hors de ces limites, il serait 2 2
possible de prendre n de manière que « Æ np SY trouvât compris. Si par exemple, æ tombait entre 3p et 4p, mais plus près de 3p que de 4p, en prenant n — — 3, on obtiendrait un résultat moindre que
302 . COMPLÉMENT Ê. Il suit de là que pour tomber sur une solution , il suffira d'essayer pour x tous les nombres entiers com-
pris entre — et —-, 2 2
Par ce moyen on s’assurera aisément que l'équation
AE. À TBE GE
n’est pas résoluble en nombres entiers, puisqu'on ne trouve que des fractions, en prenant pour x tous les nombres compris depuis “+ 4 jusqu'à — 4.
154. On peut aussi prouver que l'équation py = a + bx + ox? + dx... hxm
ne saurait, lorsque p est un nombre premier qui ne divise point a , admettre plus de m solutions en nombres entiers , par des valeurs de x prises depuis o jusqu’à p3 et voici comme le fait M. Legendre ( Mém. de l’Académie des Sciences ; 1785). ,
Si & ést une de ces solutions , on aura
a + ba + ca° + daÿ....+ han pa sa
n désignant un nombre entier, et par conséquent
pa =a + ba + ca + daÿ....+ ha ;] retranichant cette équation de la proposée, on obtiendra py—pr=b(r—2)+0(a° 0) d( 2505). (aa), résultat qu'on peut mettre sous la pue) | p(y—n) (ex) eo d'athe/ x han)
(Elém., 180). Or, aucune des valeurs de x ne pouvant
DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 303 être divisible par p, tant que œne l’est pas, si l’on prend 4, 8,y,etc., entre oetp, les quantités 8—a, y—«, etc., toutes plus petites que p, ne pourront se divièr par ce nombre ; le facteur x — « ne sera donc divisible dans
aucur de ces. cas par p : il faudra par FR qué ce soit le facteur
Ho PA d'a + ex. s.+ Ram, H résulte de là que l'équation, py = Db'+ c'x + d'a+ex... + han sera résolue par toutes les valeurs 8, y, etc.; et que si le nombre de celles qui résolvent la proposée était
seulement m+- 1, la précédente en admettrait m. En descendant ainsi de proche en proche, on arriverait à
conclure que l'équation py — a + bx devrait admettre deux valeurs entières pour x entre o et p, ce qui ne saurait être, puisque les valeurs de x forment une progression dont la différence est p (149) : donc l'équation
proposée n'en peut admettre que m au plus dans ces limites.
