Soit encore l'équation
__a + bx + cx° + dr + ext + etc.
ET PERTE Ca + d'x + ext L etc.”
la plus générale de celles dans lesquelles une des inconnues ne monte qu'au premier degré.
Si l’on fait a + bx + cx* + dx? + ext Æ etc. = p, + b'x + c'x + d'a + ext + etc. = q,
en éliminant x de ces deux dernières équations , on en
504 COMPLÉMENT trouvera une de la forme
A+ Bp + Cg + Dp°+ Epq +Fq" + ete. = 0, entre p et q. Mais par hypothèse, y=À, ou ps substituant cette valeur, l'équation précédente deviendra A + Bqy + Cq + Day + Eg°y + Fq° + etc. —0;
tous les termes étant alors divisibles par g, excepté le premier À, il faudra que celui-ci le soit également ; sans cela x et y ne pourraient pas avoir des valeurs entières. On cherchera donc tous les diviseurs du nombre A; en les désignant par «&, 8,7, etc., et en les prenant successivement pour g, on aura les équations
a = € + b'x Æ c'x + etc. , B—= à + b'x + c'x? + etc., desquelles on cherchera lés racines entières, et celles de
ces racines qui rendront p divisible par g résoudront la question proposée. ,
156. Voici un problème très simple qui se rapporte à l’équation précédente. Trouver deux nombres tels que st l'on ajoute leur produit à leur somme, on obtienne 79. Désignons ces nombres par x et par y, l'équation à résoudre sera
+ y + LY = 79;
et prenant la valeur de y, nous trouverons
és —— me
en faisant là division. Le dernier résultat montre que la
question proposée sera résolue en prenant pour + + 1 les diviseurs de 85, qui sont 1; 2; 4, 5, 8; 19; 16, 20, 49, 80, et qui donnent respectivement | & LA GARE PM dat Hoi MO He AE Te ee 79, Y —= 79) 095019; ROM AMIS E 1, O(*), 157. Je passe à l’équation a+bx+cy+dr+exy+fy =o, où les deux inconnues montent au second degré ; en la mettant sous la forme
À ex + © a + bx + di?
Sfar Cr À RUE CR RE CU on en tire ete; VGrHe) —4f{a+bx + dx) is AN De of .
ou, ce qui revient au même, | ofy +exz +c—=+t V’ex + c)—4f(a+bx + dx).
En développant et ordonnant par rapport à x la quantité soumise au radical, on lui donnera la forme...
ES
(*) On résoudrait de même cette qu tion : 7rouver un rectangle dont le contour et l'aire soient exprimés par le mémé nombre ; car en nommant x et y les côtés contigus de ce rectangle, on aurait
2XH2Y = xY ; |
équation dont les solutions entières et positives sont x=y—4, x=3, y—6. Le contour et l'aire sont exprimés par 16 dans le premier cas, et par 15 dans le second. Plutarque avait en vue cette propriété des nombres 16 et 18, lorsqu'il disait, dans son Traité d’Jsis et d’ Osiris, que ce sont les deux seuls 2ombres plans dont les périmètres sont égaux à leurs aires; ilajonte que les pythagoriciens avaient en aversion le nombre 17, parce qu’il sépare 18 de 16. (O£uvres morales de Plutarque, traduites par Ricard , t. XVE, p. 104.) On voit ici un exemple des idées ridicules que les anciens attachaient aux propriétés des nombres.
Compl. des Elém. d'Als. 20
306 COMPLÉMENT m + nx + px”, dans laquelle
c'— Aaf—œm, 2ce—4bf—=n, &— Adf =p.
Si l’on ne demande pour x et pour ÿ que des‘ nombres rationnels, soit entiers, soit fraétionnaires , la difficulté du problème se réduira à trouver des valeurs de x qui rendent la quantité m + nx+-px° égale à un quarré parfait ; et ce quarré étant désigué par #?, on aura
2fy +ex+c=tt.
La résolution de l'équation m + nx + px? = #,
conduit à
2=— + Vn=— 4pni + dpi :
2p 2p px + n= LV 4pe + n° — 4pm; faisant 4p = À et n° — 4pm = B,, on aura
opx n—=+y AP +B.
Par ce résultat , la question est ramenée à déterminer t de manière que V/ AB soit un quarré; car ce quarré étant u*, les deux inconnues x et y ne dépendront plus que des-équations du premier degré’, ofy+ez+c—=t, 9px+n=u,
dont les coefficiens c, e,#, n et PS sont rationnels, ainsi que les quantités £ x ue
La détermination def, par la Condition énoncée cidessus, où, ce qui est la même chose, la résolution de l'équation u—=ÿ 41° + B en nombres rationnels , renferme, en général de grandes difficultés. L’un des cas les plus simples a lieu Ha A est un quarré ; en réprésentant ce quarré par 4°, on aura |
UL La PE 4
et supposant u—at+y, il viendra ES
OÙ
at + v=Y PL BR; quarrant les deux membres et réduisant, on trouyérà
gdavt + WP — B,
et par conséquent
prenänt pour # un nombre rationnel, t deviendra un nombre rationnel, ainsi que z, et il en sera de nie ns de x et de y.
Lorsque B est un quarté représenté Dir £°, l'équation proposée se résout encore avec la même facilité que tout-à-l'heure , en supposant u = vt + 8, ce qui donne
(EH E) == AP + 6, équation qui se réduit à y LH 9Bvt — Al, ou, en divisant par #, à v°t + 28v — At, et d'où il résulte LL By A Enfin si la quantité AP B peut être décomposée en deux facteurs rationnels, &t +8, «’t+ 8’, en sorte qu’on äit
Cat+ 8) (xt + E)=AP+B, u = v(at +8);
on fera
on en déduira va (at + 8) = (at +8) (at + €); supprimant le facteur commun at + 8, on trouvera
at+e)=xt+e et Sp mur lt
158. Quant on connaît une valeur rationnelle de £, on peut en déduire facilement une infinité d’autres qui satisfont à l'équation proposée. Pour le prouver, soit æ la valeur donnée de t, et & celle de z qui en résulte; on aura
B =V A + B,-ou E—A#+B; retranchant cette équation de u°= At + B, il vient u— B— A(t—a), ou uw = A(F — &) + EE.
Mais si l'on fait u—(t—«)v +8, il viendra, après l'élévation au quarré et la substitution dans l'équation précédente ,
V(t— a) Hopv(t— a) = A(P— a); divisant tout part —«*, on trouvera
(G— a) +28v— A(t+ a), d'où l’on tirera
20v — Aa — ay?
ee
À ms NV? ?
formule qui donnera des nombres rationnels ‘pour #, lorsqu'on en prendra de tels pour w.
frs
159. Il est facile de faire autant d'applications qu’on voudra des formules ci-dessus, c’est pourquoi je me bornerai aux suivantes : 7'rouver deux nombres x.et y, tels que la somme ou la différence de leurs.quarrés soit égale à un quarré donné 8°: Les équations à résoudre sont
+ TL? — B?, ÿ— x? — £?, et conduisent à Y=VE—S, y=VE+*, expressions qui se rapportent immédiatement au second cas du numéro précédent. On fera y=—Wwx—8, ce qui
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 509 donnera pour l’une
(vx —:8)", et pour l’autre :
(vx Lies) TO 8? + x?.
En développant ces équations, on tirera de la première : 2Ev v? +1
