RP
de laquelle on tirera
et prenant x =a et y—a +1, il en résultera | ÿ— x = L?.
Dans l'exemple proposé, où £&— 25, on trouve QG = = 12, et par conséquent | DSi et: y—198,
comme ci-dessus.
Il est bon de remarquer qu'on peut supprimer Îles dénominateurs des valeurs de x et de 7 sans changer leurs relations.
Pour la première question on trouve
2 = )9Ëv, 7 —=E(— 1),
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 541 et la racine de la somme des quarrés de ces quantités devient |
Si l’on écrit = au lieu de v, il Léa chi .__ 28m 8(m — 7) PAR PRIRENT TE et Ba) SET
On fera disparaître les dénominateurs de cette. formule en prenant 8 =», et il viendra
T—9mn, y—m—n", d'où x°+ y = (m°+ n°)’. On trouvera des résultats analogues pour la seconde question (*).
Je ne pousserai pas plus loin la résolution des équa-
tions indéterminées : ceux qui voudront s'appliquer en particulier à cette branche d'Analyse, pourront con-
(*) Ces formules, qui sont très simples, donnent tous les nombres entiers qui peuvent mesurer des côtés de triangles rec-
tangles..
Le rapport des côtés de l'angle droit, ou la tangente de Pun des
angles aigus , a pour expression
A hero 2v d’où il suit que ces triangles renferment des angles de toutes les grandeurs. (Voyez les Tables de S'chulze, tome IE, p. 308. LE Il est visible , par la formule
quep == tang 2 X, À représentant-l’angle opposé am côté x,
sulter les Mémoires de l’ Académie de Berlin, ann. 176 9, et le 2° volume de l’Algèbre d’Euler ; ils y trouveront la solution complète de l'équation u = 4 + B, par Lagrange , et beaucoup d’autres recherches non moins intéressantes. |
Des propriétés des nombres.
160. Les nombres, considérés en eux-mêmes, indépendamment de,tout système de numération et de toute question particulière , ont des propriétés très remarquables ; plusieurs sont relatives à leur divisibilité les unS par les autres ; telle est la proposition qui termine le n° 16, et dont voici la preuve, «
Soit z un nombre premier, » un nombre non- divisible par n ; le produit »p divisé par n laissera toujours des restes différens , tant que p sera < n.
En effet , soit
p—=E£En+r, pp =ÆEn+r,
Æ et E” désignant des quotiens entiers de la division des produits »p et »p° par n, et r un reste qui soit le même pour ces deux opérations ; on aufa, en retran= chant la première équation de la seconde,
» (pr p) bn Flu Ets
LE
»p' — YP — (E° er En ; d'où
et comme » n’est pas divisible par z , il faudra que p—p le.soit.(Ælém., 97), ce qui ne saurait arriver tant que p et p' sont € 7.
161. On possède aussi plusieurs théorèmes remarquables sur la décomposition des nombres en puissances parfaites. Bachet de Meziriac, qui commenta le pre-
mier avec succès l'ouvrage que Diophante nous a laissé sur l’Arithmétique , ou plutôt l'Analyse numérique, remarqua qu'un nombre quelconque est toujours ou un quarré, ou la somme de deux quarrés, ou celle de trois, ou enfin celle de quatre au plus.
10, parexemple, est la somme des deux quarrés 1 et 9; 24, celle des trois quarrés, 4, 4 et 16, 59, celle des quatre quarrés, 1, 4, 9 et 25.
Cette proposition fut démontrée ensuite par Fermat, Vun des plus grards géomètres dont la France s’honore, et qui enrichit de remarques le commentaire de Bachet ; mais l'écrit où il se proposait de réunir les grandes découvertes qu’il avait faites sur la théorie des nombres , ne nous est point parvenu, et la propriété précédente n'était qu'un simple faitprouvé par l'expérience , jusqu'à ce que Lagrange l’eût démontrée en 1770, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin. Euler a prouvé cette proposition d’une manière un peu plus simple, dans la deuxième partie de l’année 1777 des Actes de l'Académie de Pétersbourg (”). |
ÆEn 1770, Wilson fit connaître la propriété suivante des nombres premiers : Sz n désigne un nombre premier quelconque , le produit 1.2.5...(n— 1), augmenté de l'unité, sera divisible par n.
Par exemple, soitr—7,ona 140... 4(n—5) #r9.9:409.6 — 720;
(*) Fermat avait joint à cette remarque celle que tout nombre pouvait étre ramené à la somme de trois nombres triangulaires, ou cinq pentagonaux, et ainsi de suite. (Note de la page 196.) Cette dernière partie de son beau théorème a enfin été démontrée par M. Cauchy. (Voyez le Supplément à l'Essai sur la théorie des nombres , pax M. Legendre, p. 15.)
314 COMPLÉMENT en ajoutant l'unité , il vient 721, qui, divisé par 7, donne 103 pour quotient, et il s'ensuit que ce même nombre, divisé par tous ceux qui précèdent 7, à partir de 2, laisserait toujours pour reste l'unité. C’est encore Las grange qui démontra le premier la vérité de cette proposition. (Mémoires de l Académie de Berlin, année 1771.) (*)* $a
Il est bon de remarquer que les propriétés dés nonibres correspondent à des questions d’ Analyse indéterminée; celle que nous avons citée la première revient à prouver que l'équation
+ x +y Hz = 4 peut toujours être résolue en nombres entiers, quelque
nombre entier que l’on prenne pour 4; la seconde pro priété suppose que dans l'équation
