n—1)h1—=nx

æ est toujours un nombre entier, lorsque # est un nombre premier.

Il serait impossible, sans sortir beaucoup des ldimites où je dois renfermer cet ouvrage , de développer ici les démonstrations des théorèmes «que je: viens d’énoncer ; mais pour donner une idée de ces recherches, je vais exposer, d’après M. Gauss, la théorie des restes que laissent les puissances d’un nombre, lorsqu’on les divise par le même nombre premier, et qui conduit au résultat annoncé à la fin du n° 57.

162. Soit, par exemple, la suite 14,10, 27, 01, 949, 720 6I0,

formée des puissances du nombre 8 , et qu'on divise

(*) Voy: aussi mon Zraité du Calc. dif. et. du Calc. int, , tom. III, pag.

chacun de ses termes par le nombre premier 7, on aura les restes

1; gris, 6}+<4, D; À etc.

où l'on voit revenir, après 6 divisions, le premier reste 1. Dans cet exemple, la période des restes embrasse tous les nombres inférieurs au diviseur, ce qui , dans d’autres cas, n’a pas lieu. Dans la progression

USE 4, 8; 10; 02," elt.;

par exemple, les restes de la division par 7 étant seulement

M dite à ner dr c 6e à

reviennent après trois divisions , nombre qui est divi- .seur de 6, c'est-à-dire de 7 — 1. La généralisation de ces remarques donne les théorèmes suivans.

Dans la suite des puissances

2 3 L , &, €, Lys.

il existe, outre le premier terme, un terme a‘, qui, divisé par un nombre p, premier à la base a, laisse l'unité pour reste, t étant moindre que p. |

C'est-à-dire que, Æ désignant un nombre entier quelconque , on a HR:

a! — Ep + 1.

Soit en général Mg" — Ep + «; en donnant à m un nombre de valeurs égal à p, on doit rencontrer au moins deux fois une même valeur de «, puisque « est un entier << p. Soit donc m’ la valeur de m, qui donne cette répétition, et Æ’ la valeur de Æ, qui lui correspond’, on aura

a" =Ep +a,

A ARE Me: ri l aV=Ep+a, } d'où a"a"=(E£E"-E)p=a"(a" m1)

316 . COMPLÉMENT mais comme a n'est pas divisible par p, a” ne le sera É ;

pas non plus ( Ælém., 97); et puisque (£'— E)p l'est, il faudra que a" 1 le soit : donc a" — 1 est de la forme Ep, et a" de la forme Ep + 1.

Il est visible que m'— m <p ; en partant du premier terme 1— a°, on rencontrera donc le terme a"7”, avant d’avoir atteint l’exposant p.

Par exemple, dans la progression PS PE UE MR 2 on a 2— 4096, qui, divisé par 13, laisse 1 de reste.