FA

36 COMPLÉMENT n° 7.-Avec un. peu d'attention , on voit aussi qu'elle: est équivalente à o(a + b + c)ÿ— g[ac(a + b +e) — abc] — 9 [ab (a + b + ©) — abe] — o[bc(a + b + c) —1abe] SAR e7 4° On a donc enfin | 25 + 27q2 — 27p° = 0, équation qu'on appelle la réduite ou la résolvante, et dont les racines désignées ci-dessus par 2° et z', sont 3 cat ete LOfRENS ) ANUS LRO Big + V Ep 8 V=ig— Ve phagte | Mais les équations: à. \

z'— aa + «°b +c ; z' —=æ#atkab+e, jointes à l'équation a+ b+c—o, résultante de l'évanouissement du second terme de la proposée ; et au moyen des réductions indiquées n° 16 , donnent

a me PDO à __az + &z __æz + az" RTS ACNANTI 3 er RÉTU BTTIR A?

L1 L2 f * et si l’on met pour les quantités z’, z",æ, «?, leurs valeurs , on trouvera

3 DRM 8 VE VE + Vi VE Pia Ve eee pr — pe IV Vo + VE HET

DR D ES Vive + 2q°

—1q+V Sp + 19

1—(/ —3 2 ————— ——— 1h Nine to V—iq—V SP 19°

DES ÉLÉMÊNS D'ALGÈBRE. 37 De ces trois racines , la première seule parait réelle ; les deux autres sont sous une forme imaginaire,

Je reviendrai dans la suite sur ces formules ,. pour faire connaître les diverses circonstances que présente la résolution des équations du troisième degré ; pour le moment , de me bornerai à observer que les quantités z/ et z’ ayant chacune trois valeurs, puisqu'elles désignent des racines cubiques, il pourrait résulter de l'emploi successif de ces valeurs trois systèmes de racines &, b, c; maïs celui que j'ai rapporté plus haut est le ET qui EMA CE à l'équation |

5 + px +gq—=o.

Les deux autres Gffriraient respectivement lés racines des équations x°Æ+apxzÆ+q—0o, a+ apr +q—0, liées à la proposée, de manière à former avec elle , par la multiplication, une équation rationnelle du neuvième degré, et quiconduiraient également à l'équation en z, obtenue ci-dessus > parce que cette dernière ne contient que le cube de p, qui est aussi celui de ap et de æ’p.

Pour distinguer le système des racines qu'il faut employer , il suffit d'essayer s’il rend la fonction. . ab + ac + bc égale au coëeflicient de x dans l’ héton proposée : or les valeurs trouvées ci-dessus donnent

ab + ac + be—— 322", eton ad ailleurs 22 = — 3p.

.20, Je passe au quatrième degré. En désignant par a, b,c, d les racines de l'équation sans second terme, m4 pt qr tro, à on cherche encore à trouver une fonction de ces racines

qui soit de la forme ka + /b + mc nd, et qui dépende

38 GOMPLÉMENT

d'une équation moins élevée ou moins difficile à résoudre que la proposée. Dans une telle fonction, les lettres a, b,c, d peuvent être combinées de wingt- quatre ma-. nières différentes, et par conséquent elle doit dépendre d’une équation du vingt-quatrième degré; mais on peut, en. établissant des relations entre les coefliciens indéterminésk, /, met n, réduire le nombre des combinaisons. En. snpposelt d'aBbrd k—1; il ne reste plus que douze changemens possibles PAL la distribution des lettres a, b,c,d, et ces changemensise réduiront à six, si l'on fait m = n; la fonction ci-dessus deviendra alors

susceptible de cinq autres changemens,

l(a + à) + mb + d), La + d)+mbæ+ie, | 1(b + ©) + ma + d), 2(b + d) + m (a Pre (+ EN L(c + d) + ma ++ b).

Onne peut plus diminuer le nombre de ces combinaïsons sans les rendre tontes identiques ; mais en posant L——m, on aura les six quantités

l(a+b—c— d), T(c+ d — a — 6), l({a+c—b—d), 1(b+d— a — c), l(a + d—b— 0c), lb+c—a d),

telles que les deux qui sont sur une même ligne ne diffèrent que par le signe ; en sorte que l'équation du sixième degré , dont elles dépendent; doit avoir trois racines positives , et autant de négatives respectivement égales à chacune des premières, Cette équation sera donc de la forme

29 Az + Br + Co (Elém., 208),

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 3g et réductible au troisième degré, en prenant 2° pour l'inconnue. Mais si, au lieu des quantités .…

l(akb—cd), etc, on prend leurs quarrés, , On n'aura ge trois fonctions différentes, puisque |

P(a+b—c—id}#æ OH 2 à — BY, et ainsides autres; et faisant /=— 1 dans ces dernières fonctions, l'équation qui doit: les donner sera” le’ dure des troisfacteurs : :

lt 0e ee (@ h 2e À eo

Zz — (a deb — cy.

Or, RER R De cer | abc d-oaboùc-bad-0 bo obd id

(a+b+cHhd) — /4ao— ad -— 4bc-4bd;,:

et comme l’équation etes manque de o seconde, on a gt. 472 a me b "à c 2 a 0, pe d'ou into :< LUE | (a+ b ja Let pre mais puisque, } d'après, la Composition des équations, PE 4e da 2 bent D + cd,

il en résultera, :

0 4ac—#4ad. ie ai= mes Fr ju ab + A " dons enfin :! “111 | Ka be maps à ab Le ju On trouvera de même

APCE EE EE ET EU a+ d = bc) = —i4p4 ad Abe:

Si, pos plus de simplicité, on prend Pinconnue z s'étale au + des fonctions (a+ c—=b—=d), etc. ; ; l'équation en . sera le produit Aer trois facteurs) \

LOUOBOË LOT 3 pi : (àb cd) 1 AUELE It 110 z + p — (ac + bd) }°T 29/0140 2 ip.y+ (ed{4-bo}= 8 + 5) Iline s’agit plus maintenänt quevde! développer ce produit ;let:d’exprimer énip} b q et r; les fonctions 5 triques de a, b,cet d, qui s’y trouventcontenués.c Pour couts le calcul avec, plus de facilité, on posera fs ua des 0 (AE

“t Ms ç Me £3

+10 ce qui donnera les frois facteurs

u (ab od).; . ca Pape ir (adihiäc)

Le coefficient du second’ tèrme de” l'équation ën W sera égal, Abo) où dupusr 3È OGOIY TOIIEP] 9 TIHO09 19

+ ac+ai+ be bd + cd, ca

ou , ce qui est la même chose, à —p; celui du troisième BEI Gt \ SE LAS, EUR v)

(yen went LS

dbc + ‘bd jrs RICA one E#

DES sb AK aise cdd x : cd Del quatnri FA abc* + \ac’d + ELA = 7 M + abd? + acd? + bcdiastiuem ns li

Cèttè fonction!est symétrique; car elle ne Chang M quelque permutation qu'on fasse entre les quantités la, b,c;,d, et elle n’est qu'un cas particulier de, la fonction a"bPel + etc. , dont l'expression est

Sr Sp S a Sn-pSa Dn499p — Sp+g9n + LS 4)

Pouïenlavoir. Ja! Pt onfaitn=2,p=1}q=1,

DES ÉLÉMENS D' ALGÈBRE. 41 dans Ja formule ci - desêus dônt on ne prend que la moitié, à cause que p— q; il vient *

cherchant ensuite les valeurs de S,,:9,, S3, S4, et observant que le second terme manque dans l'équation Érpoiées on trouve — 4r pour résultat.

On arrive immédiatement à ce résultat , en remarquant que la fonction «abc + etc. est équivalente à te (abc + abd + acd 4 bed) — abcd

+ b(abc + abd + acd +: ‘bcd) — abcd * + cc (abc + abd + acd +bcd) .— abcd

+ d(abe + abd + acd + bcd) — abcd (a + b +c+ dy (68e + abd + acd ++ bcd) — 4abcd,

cts se réduit par conséquent à Mad à puisque sakb+c+d—=o.:

Le dernier terme de l'équation en w étant égal à 1, -—(ab.+ cd) SR (ad + bc), a pour développement “.@ { dbcd +. abcd + abeïd + abcds VE &b°c + «bd + a cd a b?c d° La valeur de Ja première ligne se déduirait de lexpression générale des fonctions de la pen arbPc1d' +- etc.,

en y faisant n—3, p—q—r— 1; mais on voit Hien aisément qu 'elle n'est autre chose: hdd

abcd (a? +-1b? + + + d?) — rS2 = —9pT.

La seconde ligie aura Pour expression ta ce qui précède,

à (55 Less PER — Jopr + d;

réunissant ces deux parties, et changeant leurs signes ,

42 COMPLÉMENT on-trouvera + 4pr —:g" pour le dernier terme de l'équation cherchée,, qui sera par conséquent

uÿ= pu — 4ru + 4pr — P = 0 :

mettant 2 + pau lieu de w , il viendra

25 ape + (p—4)z— = 0

Soïent:maïntenant z’, 2", 2":les itroisracines de cette

équation , :qui:est Ja réduite, on aura (atb—c—d=4# ,) (atb—cd=#y 7, (a+c—b—d) —42" à d'où a+c—b—d=#9 V/z" (a+d—b—c)=42", a+d—b—c—+#0 V2" à Les trois dernières équations étant ajoutées alternati-

vement avec l'équation a-+b+c+d—o, qui résulte de l’évanouissément du second terme, donneront , en

ne prenant d'abofd que le signé supérieur dont chaque | radical est affecté,

a+b=W#, atc=yr, apd=y/z"; mais la somme de celles- ci, étant écrite dans la forme paka+b+c+d=Vz AUATAT se | réduit visiblement à diront | ‘2a=y7 LYTaVR a an

d'où , par ce qui précède , l’on conclut sans peine

a+ CVZ + VE 42) bi (+ V3 —Vz); c—3(—Vz +Vz V2") , d=i(—yz V2 +2);

et en prenant des signes inférieurs des radioaux ; on

DES ÉLÉMENS MODSLERR 43

Évri ve ve, CERN VE EVr)s Va GVT +7 V7) Ces huit valeurs comprennent toutes les combinaisons qu'on peut faire des deux signes dont chaque radical est affecté ; cependant on n'en doit employer que quatre.

Cette espèce d'ambiguité tient à ce qu'on n’a pas déterminé immédiatement les fonctions. ....,.....

aurait eu

o % à HU HU

pl= pie Pie Pie

.@+b—c—d, etc.; mais leur quarré, qui reste le

même , quel que soit leur signe et celui du coefficient

q, puisque l'équation en z ne contient 1e le quarré

de ce coefficient. Il suit de là que les racines trouvées doivent également satisfaire au cas où q est négatif comme à celui où il est positif ; en sorte que ces huit

‘valeurs réunies sont les racines de l'équation résultante

du produit des deux suivantes ,

apr + qgc+r=o, xtHpé— gx+r—=o,

qui ne diffèrent que par le signe de g; et que par con-

séquent le système de valeurs , quirépond à la première équation, doit donner la somme des produits des racines

prises trois à trois avec un signe contraire , égale à une

quantité positive , et l’antre doit. donner cette même

somme égale à une quantité négative.

“Ce caractère servirait à faire reconnaître l’ensemble des yaleurs qui conviennent à chaque équation en particulier; mais on y arrive plus simplement en multipliantentre eux les premiers membres destrois équations

a+b—6R 2V/7', a+c—b— d— 2V/2z", g+d— bc — oV/z”;

car en réduisant les fonctions symétriques qui com posent le produit ,; on trouve que sa valeur est égale à — 8q; il faut donc, dans tous les cas, prendre les signes des radicaux, tels que léur produit soit d’un signe contraire à celui du coefficient g; mais comme pour déterminer, d’après cette condition , le systeme de va= leurs qu'il convient d'employer, on doit, suivant la remarque de M. Bret ( Correspondance sur l'École Polytechnique, t. IT, pag. 218), avoir égard : à la nature des racines z', z”, 2" de la réduite’, je renvoie cet examen aux articles dans lesquels je Actéti la nature des racines des équations du troisième et du qua trième 1e degré: |

\21. Ta ds Dar ae le ces équations ont été “résolues précédemment est due. à Lagrange ( Mém. de d'Académie. des Sciences de Berlin, années.1770 et 1771); mais, pour l’exposer, j’ai suivi. la marche tracée par M. Laplace dans le Journal des Séances de l'École Normale (Leçons , t. II, page 302; 111° édition, ou Journal de l'Ecole Polytéchnique, 7 < et 8° cahiers, pag. 46). Quelque féconds que soient fes principes de cette méthode elle n’a pus s’étendre aux équations générales des degrés supérieurs au quatrième , ‘parce que la fonction des racines qui sert à les déterminer dépend' d'une équation plus élevée que la proposée, ainsi que je vais le montrer en présentant l'extrait de la 13° noté de la seconde édition du Traité de la Résolution des Equations numériques, par Lagrange. |

En désignant par x’, x",x",... xt") (*) les racines de l'équation générale du degré m, il cherche une

{(*) Ici, et dans tout ce qui suit, Ja notation (m) désigne r. nombre des accens'que doit porter la lettre inférieure.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 45 fonction de ces racines, de la forme.

"x ax Lx"... + Lg A ;

dans laquelle æ& est l’une a des racines de l’équation y"— 1—0 , autre que l'unité positive. Il’est aisé de yoir que cette expression renferme celles qui’ont été trouvées ci-dessus pour le troisième et le quatrième degré ; car elle devient , dans le premier de ces cas,

x'+ ax" Lax”, et il suffit d'y changer x” en a, x” en b, et x'en c, pour en faire la valeur de z’ obtenue page 34. Lorsqu'il s’agit du quatrième degré, il faut remarquer que l'équation yf— 1 = 0, outre + 1.et les raojnes

imaginaires y —1 et Vu 1, a encore la racine —1, qui donnant «*—1, change l'expression

x + aux" HÆ x" + ax!" en». 4. x Ha — x — x", Forme qui s'accorde avec ce qu'on a trouvé page 38. Onwoit ici que la présence de la seconde racine réelle de l'équation yf — 1 = o simplifie la forme de la fonction cherchée ; et il arrive quelque chose d’ana-

logue toutes les fois que l’exposant du degré de l’équa- ‘tion proposée n’est pas un nombre premier.

22. Supposons d’abord que le nombre m soit preimier, et prenons 5 pour exemple ; la fonction cherchée sera alors

LH ax" + dx" + TN dx, l# étant une des racines imaginaires de l'équation... PP — 1—o. La formation des diverses valeurs de cette

fonction s’opérera en y effectuant toutes les permutations possibles entre les cinq racines x’, x”, x”, æ'*, x",

mme

CES en ee a

45: COMPLÉMENT ou bien en laissant ces lettres dans le même ordre, maïs en permutant de toutes les manières possibles leurs coefliciens 1, «æ&, «?, «$, «4, ou enfin, comme 1 = æ«°, en permutant éntentent lès cinq exposans

Q ;, 1, Vie Tr

dont la: lettre æ est successivement affectée.

Par chacune de ces opérations on trouvera les mêmes valeurs au nombre de 1.2.3.4.5 — 120 (Elém., 159); mais ces valeurs peuvent se partager en groupes, ayant des relations qui en facilitent la recherche, ainsi qu'on va le voir. à

Posons premièrement l'équation ?

fa + ax" À x" xt L alfa, et multiplions successivement ses deux membres par a, æ?, a, at, en observant que aÿ**— a" (16); nous aurons , en y comprenant la première valeur ci-dessus, un groupe composé des cinq permutations suivantes :

f— x + ax" À 4227 HE TN ad, at — ox + ax" + ax" LE éme x, et = &x Æ x" Æ atx" EE LUE ax", Ù — fx" Æ aix" Æ x" He ax" Æ x", if = aff Æ, à" + ax" Æ ex He mais

et par quelque puissance de « qu'on multiplie l’une quelconque de ces équations , on n'en: saurait mn | duire de nouvelles.

Il est facile d'apercevoir que les exposans 0, 1, 2,6, 4 de la lettre « , quoiqu ayant changé de: place, ont toujours conservé dans leur succession le même ordre (si l'on regarde la dernière place comme contiguë à le première), et que, d’après ce caractère qui lie toutes cés permutations entre elles, chacun des exposans'a occupé successivement toutes les places.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 47 Celarposé , si l'on met à part, dans l'ensemble des 120

permutations, tontes celles: où «°=1 occupe la première

place, et qui, différant par les arrangemens qu’on peut

faire. des quatre autres éxposans, sont au nombre de 1.2.9.4 —=24,, chacune de ces permutations:, par là suite. de multiplications indiquées ci-dessus , former un groupe de cinq permutations.toutes différentesentre elles, dans chaque groupe, et d’un groupe. à l’autre,

| Puisque, dans ce dernier cas, l'ordre général de succes-

sion dés exposans sera interverti par le dérangement opéré dans celui des quatre derniers.

Si donc on désigne.par #’, £", #7.. ., 109 Jes 24,permutations où «° occupe la première place , les valeurs des 120 permutations seront comprises dans 24. groupes, savoir, le précédent et ceux que donneraient Eu

ED ES de même, l'équation de laquelle dépend la

fonction. cherchée se partagera en 24 produits. com-

posés chacun devcinq facteurs de la forme

Gb) (bat): (bat) (tar) Get) = rs,

etne contiendra par conséquent que des puissances de 4, dont l'exposant sera multiple de 5, ce qu'on peut

voir aussi en observant qu’elle doit rester la même lorsqu'à la place de + on y substitue 4, valeur telle que (af) =45. Faisant donc #— 0, l'équation en 8

, neseraplus que du degré: 19: 944% 94,

Cette dernière: équation peut elle = même se dé. composer en six facteurs qui dépendent: de nouveaux!

| groupes de permutations qu’on formera de la manièré

suivante, dans les 24 permutations où «° occupe la

«première place. En: laissant de côté ce terme , Si dans

les. quatre. qui restent on remplace « successivement par chacune des autres racines imaginaires de l'équation Y°— 1, ce qui.revient à changer « en.*, ÿ, & (16),

en ayant soin de réduire tous les exposans de æ& lorsqu'ils surpassent 5 , on obtiendra les quatre permuta-! tions suivantes : se tt

ax! + ax" + ia + ete, sn SN 4, x" it @fx Æ x LE ax", où SACS; ax" + ax" fx D x", ie AUS LE av Mix HO xt LE x HR ax, 24019, 4.

si l’on n’écrit que les exposans de «.

Traitant de même toutes les permutations des quatre exposans 1,2,8, 4, où 1 est à la première place, et qui, ne différant que par l’arrangement des trois autres, sont au nombre de 1.2.3 — 6, on formera cinq nouveaux groupes composés chacun de quatre permutations , toutes différentes entre elles, et d’un” groupe à l’autre , parce qu'en plaçant ces groupes à côté les uns des autres à la suite du précédent , on aura , sur la première ligne , l’exposant 1 accolé aux 6 arrangemens qu'on peut faire des nombres 2, 5, 4; sur deuxième ligne, 2 accolé aux 6 arrangemens qu’on peut faire des nombres 4, 1, 8, et ainsi de suite, ce qui n'offre aucune répétition.

Désignant donc par 0”, 6”, 6!" les trois quantités dérivées de

= (a + ax" + 0x" + er ER fx),

en y changeant successivement + en «°, a, æf, on aura pour déterminer les quatre valeurs de fl comprises dans le premier groupe indiqué ci-dessus , l’équation je

quatrième, degré

(B— 6") (B—6") (8— 67) (8 —6)=0, dont les coeficiens , fonctions symétriques des quantités 6°, 0", 8°, 6%, étant rapportés aux racines x’, x", etc., de l’équation proposée, n'auront qu'un nombre de valeurs égal à celui des groupes.

En effet, parmi les vingt-quatre permutations dont ces racines sont susceptibles dans l'expression de 8, celles qui n'opéreraient que des échanges entre les valeurs dé 0 appartenantes au même groupe, ne produiraient aucun changement dans les fonctions symétriques de ces quantités. Quant aux autres permutations , “elles ne feraient qu’échanger les groupes entre eux; car une valeur de 8 appartenante à un groupe quelconque , ne peut devenir celle d’un autre, sans que toutes les valeurs composant le premier ne deviennent celles du second, puisque les valeurs d’un même groupe se déduisent

toutes de l’une quelconque d’entre elles par le changement de & en 4°, «3 et af.

Spient donne 7 cu uTu foitcctffitens de la même puissance de 8, dans les équations du quatrième degré qu’on tirerait des six groupes de valeurs dont il est susceptible ; ces coefficiens ne pouvant tout au plus que s’échanger entre eux dans les diverses permutations des racines 2. etc, l'équa-

| tion du sixième degré

CRATONT — T')..,(T 7) = 0

où 7’ désigne l’inconnue, et qui ne comprend que des fonctions symétriques des 7’ accentués, demeure toujours la même, et peut ainsi se former rationnellement par les coefficiens de l’équation proposée.

Quand l’un quelconque des coefficiens de l'équation du quatrième degré en 8, que je représenterai par

88 — TO LL DO — etc. — 0 «

est connu , on peut obtenir tous les. autres, en observant que cette équation doit être un diviseur de celle qu'on fommerait avec les vingt-quatre valeurs de 6, combinées toutes ensemble , et dont les coefliciens ; néces-

Compl. des Elém. d'Al. À

bo COMPLÉMENT sairemerit fonctions symétriques des racines x", x", etc., s’exprimeraient par ceux de la proposée. Pour cela, il suffit de diviser la dernière équation en 6, par celle du quatrième degré, et d'égaler séparément à Zéro les quatre termes du réste de la division (Élém., 210) : on formeta éntre 7, U, etc., des équations au moyen desquelles on pourra déterminer trois de ces coefliciens, ‘en fonctions rationnelles de celui qui reste, de 7”, par exemple. L'équation finale que l'élimination des autres fournirait, serait nécessairement vériliée par la valeur de T° trouvée immédiatement. |

La détermination de la fonction #—y#, dépend done, en dernière analyse, de la résolution d'une équation du sixième degré en '#, suivie de celle d’une équation du quatrième degré en 8. Tel est l’état le plus simple auquel on ait pu jusqu'ici ramener la résolution de l'équation générale du cinquième degré.

93. Il est bien aisé d'étendre a degré dont l'expo: sant est un rombre premier quelconque m , Ce qui vient d’être indiqué pour l'exposant 5. Avec l'expression

de d'air". el TAC),

on formera, premièrement, le groupe des m valeurs ’ w ' PAF 5

et il y aura autant de ces groupes qu'il y a de manières d'arranger les m—1 exposans 1,2, 9,.. .m—1,c'està-dire 1.2.3.....(m—1); cenombre sera donc l'exposant de l'équation finale en 0 = {". | Ensuite, dans les premières valeurs de Chacun de ces

groupes ; désignées par , t", t", etc., changeant « en d, ,.... u%T!, on partagerd lès 1:2:8...."(m—1) valeurs de 8 en autant de groupes composés de m—1

DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. PR: | valeurs conjuguées, qu'il y a de manières d’arranger les mn—92 exposaus 2, 3,...m-—1, C'est-à-dire 1.2.9... (m—2): ainsi les coelliciens de l’équation ayant Pour racines les m—1 valeurs comprises dans un même groupe , n’aurontque 1.2.5....,(m—9) valeurs différentes ; d'où il suit que la résolution de l'équation proposée du degré m ne dépend que de celle de deux équations , l’une du degré 1.2.8.,.(m—9), et l’autre du degré m—1.

24. La formation immédiate des coefficiens de ces équations, par le développement des fonctions des racines de l'équation proposée , est à peu près impraticable dès le cinquième degré; et Lagrange n’a pas entrepris de l’achever, malgré qu’il en ait simplifié le travail par quelques artifices dont Je vais donner une idée, parce qu'il se présentera une occasion de les appliquer dans la suite de cet ouvrage,

La première chose à faire , c’est le développement de l'expression

= {x +ax" + ax, Là Te uuiir, Il est évident qu’étant ordonné par rapport aux puis-

Q Ê ( sances de #, qu'on peut toujours abaisser au- dessous de l'exposant m, il sera de la forme

D'ER £ TN a£ rl ae: “al + ami PTE +

les lettres #, #, £", etc. , désignant des fonctions des racines de la proposée, susceptibles d'autant de valeurs que Ÿ”, et ne changeant que par les permutations qui le font changer. |

Si d'abord on pose 4 — 1, et qu'on indique par 8° la valeur que prend alors &°, on aura, par l'expression cidessus, C—EHE LE... Em),

| L À mais la valeur de # ou #", en x, x”,"etc., devenant,