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59 COMPLÉMENT dans la même circonstance,
{x +z'+x"....+amin, se réduit à Ja puissance m de la somme des racines de l'équation proposée : désignant donc par 4 cette sommes que le coefficient du second terme fait connaïtre , on, ‘aura * |
AM — EHELE".... HET); &— An EE". Em,
et par conséquent,
D An (a JE (DE T) ECM, “Les valeurs de #”, 8”,...0@m—"), se déduiront de l'ex: pression HEAR par ‘à seul Ca bpelient de « en «*, MEN A :
On pourra employer à la formation des cocfliciens de l'équation
Or TONI LE UOMS — etc. = 0 , qui renferme un groupe de valeurs de 8 ,, le procédé du n° 9; mais on facilitera le calcul des sommes des puissances semblables de 8°, 6”, etc., par le déve- Joppement de
Pr — (Ha + as"... + amine i)ye, qui donnera un résultat de la forme
fre És + dr has", + ane FANS ; Jindice n , placé au bas des lettres £, marquant la puissance de 8", à laquelle ces coelliciens se rapportent, et comme 0°?, gun. etc., se déduisent de la Déni | en substituant &°, «5,.,.a"71, au lieu de &, On aura LD On LOL En ete, 00
(m — 1) Ë£n + (ce He tes. Her), + (a. + cf, ONCE
d'où
DES ÉLÉMENS D ALGÈBRE. 55 expression où les multiplicateurs de &'n, £a, etc., ne différeront entre eux que par l'arrangement des termes (16). Or, par le n° cité, on a
abat La Ha ir ; donc ; S—=(m—1) En — En En — En — eto.
= MËn— (En + En + Ên + etc.) ; mais la quantité comprise dans la parenthèse étant ce que devient 8" lorsque «—1, sera égale à 4"” : donc enfin SP ME — Are, | En faisant n — 1,2, 3,...m— 1 dans cette formule, qui ne contient que le premier terme de #”, on formera toutes les quantités nécessaires à la détermination des coefliciens 7, U, etc., de l'équation en 8. x 25. Il nous reste maintenant à faire voir.comment les racines de l'équation proposée se déduisent des valeurs de la fonction 68. Pour plus de simplicité, nous re- AL ici par &, 8, y, à les racines de l'équation ÿ—1=0, différerités de l’unité; car nous -fous bornerons au cas où m = 5. En an GE successivement chacune de ces racines dans l'expression de #, nous formerons les quatre équations
RU NS ts (4 2 3 ! QE Vr ET ax + dx Soie,
m1. (E #l j. 40 43 gi À ve 2 arf A Re 0 te ag a x + vx vx" hp oies
IV SAR # 2 ft! dire
Ve — 2 + dr” Ho da" LE init D J'ixy,
auxquelles joignant l'équation A — x + x" ie he x" + a
nous ‘en aurons le nombre nécessaire pour déterminer tôutes les inconnues.
rs ]
Si l’on ajoute d’abord toutes ces équations, en observant que @% + 8% + y 9% 1 —o, tant que n n'est pas divisible par 5 (15), on aura
ar dit PSE Gr DURE VEHVE + VE + VE + 4= 6x; multipliant ensuite les quatre premières respectivement
par a{, 84, y4, d'f, avant de les ajouter à la dernière , il ne restera dans la somme que l’inconnue x”, et l’on aura
15 YA A Be aiy/B + BYE HAVE" + 4/6 HE 4 — 5x".
On obtiendra des résultats analogues par rapport aux trois autres raciries, x”, x", x", en prenant successivement pour facteur de chacune des quatre premières équations, une puissance des racines æ, L, y, à, telle, que l’inconnue cherchée soit multipliée par la 5° puissance de ces racines ; et il est facile de voir que ce procédé est général (*).
26. Passons maintenant au cas où l’exposant m de l'équation à résoudre est un nombre composé, dont les facteurs premiers sont n et p. En n’employant dans la. fonction
x +ax "Her"... + em),
que les racines de l'équation y*—1=0 (17), les puissances de # se répètent de z en n ; rassemblant tous les termes qui sont multipliés par la même, on a
(*) Lagrange représente 4 par f/80, parce que faire &æ = 1, c’est la même chose que de substituer «° au lieu de &, et qu’on peut par conséquent regarder l'expression de 45 comme dérivée de celle, de 8’, en y changeant « en 4°, et substituant un ° à l'accent" (24).
VU (ai + 20) + a0M) LE etc), + à (x" + xt) D xOr+2) E etc), + a (x” L x (rt) +- xCr+5) + etc), + etc.,
. expression de la forme É—X' + aX" Ha x"... HarTiXO),
Regardant alors les quantités X”, X”, X°,...XC9 comme les racines d’une équation du degré n, on pourra appli- quer à la nouvelle expression de t” les raisonnemens des n° 29 et 24; on fera f’ — 4"; on aura en conséquence 9° — Ë + C4 + ae". + ati ER
expression dans laquelle les fonctions D A A A EICe » se comporteront comme x’, x”, x”, etc., dans celle du n° 22, en sorte que lenombre n'étant supposé premier, on partagera € encore les valeurs de # en groupes qui en contiendront 7—1, données par une équation dont les coefficiens dépendront d'équations des degrés 1.2.3...(n—), ayant pour coefliciens des fonctions AREA de X”, X',etc.
Ces dernières dépendront à leur tour d'équations qui se formeront en effectuant entre x’, x" .... 20"), toutes lès permutations par lesquelles les fonctions X”, X", étc., changent de valeurs, permutations dont le nombre se réduit beaucoup , à cause que les racines x', æ', etc., sy trouvent sans coefliciens. En elfet , d'après sa composition ,
X'— x" + arr). È + a tm—n+1) ne saurait changer de valeur par toutes les permutations u’on ferait entre les p racines dont il est formé ; il ne faudra donc avoir égard qu'aux combinaisons différentes que donnent les m racines x”, x”, x"... prises en nombre p; et comme toutes ces racines doivent se partager
entre les n fonctions X’, X",..,XC), il y aura autant de valeurs de toutes ces fonctions qu'il y aura de manières de partager m racines en groupes qui en renferment chacun un nombre p.
Or, 1°, un groupe quelconque pourra se former de
m(m—1)...(m—p +31) LF9 7e ÉLIRE
manières, Ce qui revient à | 0104.70 1:2.3,..(m—p).1.2.9.-05 pl
er ajoutant en même temps au numérateur et au dénominateur les nombres consécutifs depuis 1 jusqu’à m—p inclusivement,
2°, Quand on aura choisi pour X’ l’une de ces combinaisons, la deuxième fonction, X”, se formera d’autant de manières que les m—p racines restantes, prises en nombre p, fourniront de combinaisons diverses , c'està-dire de
manières; et chacune de ces combinaisons pouvant répondre à chacune des précédentes, le système des fonctions X”, X” pourra se former d'autant de manières que l'indique le produit des deux nombres que je viens de trouver, et qui se réduitàa
Cre 295 CUVE
2,8 ...(m—p).(G.2.940 pp}.
en supprimant les facteurs 1.2.3. ..(m—p) communs au numérateur et au dénominateur, En opérant ainsi n —1 fois, c'est-à-dire jusqu’à ce qu'il ne reste que p racines pour former la dernière fonction, XC, on trou-
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. » 57 vera que le nombre de manières dont on peut former simultanément, avec les racines x’, x", .. ..x(*), l’ensemble des fonctions X”, X”,.. X0), est exprimé par
Man :3p)7 puisque de m — np, il suit m— (n —1)p—=p. Mais si l'on regarde les valeurs des fonctions X”, X”,... AC), comme les racines d’une seule équation dont l’inconnue serait X , les coefficiens de cette équation étant tous des fonctions symétriques de ses racines, conserveront la même valeur dans-toutes les combinaisons de x’,x”,.. qui ne feraient qu'échanger entre elles les valeurs de X', X", etc. , c’est-à-dire permuter ces fonctions ; et comme leur nombre est n, celui de leurs arrangemens 1.2.3...n, il faudra donc diviser par ce dernier celui qui a été trouvé plus haut, et onobtiendra
CRT ARC Le PR 7 à
pour le nombre de valeurs différentes que prendront les coeffliciens de l'équation en X, par les permutations des m racines x’, x’, etc. , de la proposée.
Or, les coefliciens de l'équation en #, exprimés par "les fonctions X”°, X”, etc., dépendant immédiatement d’une équation an degré 1.2.3...(7— 2), dépendront d’une équation du doré:
Vo» PERL 1.2.3.:.n.(149.8::.p}" ss: GTA
Lb(n—1)n(1:2:3.Mnie
lorsqu'on les rapportera aux racines x’, x”, etc.
27. Quand les valeurs de 8 sont obtenues, on forme celles des AE Le X”, X",...X0), comme on a formé celles de x’, x”, etc., dans le n° 95, maïs en substituarit aux PRuLS imaginaires de y" — 1 — 0 celles de y*—1—=0o.
Pour parvenir ensuite aux valeurs des.racines de l’équation proposée , il faut chercher les. coefficiens du facteur formé des p racines comprises. dans le même groupe, et dont X’ donnera la somme. Ce. facteur. sera par conséquent de la forme
TP — X'APTI EL AP paiPs L etc. —=O;
et les conditions qu’il doit remplir pour diviser exactement l’équation proposée (-Elém., 2r0) détermineront les coefliciens inconnus. à, #, etc., en fonctions. ration nelles de X”.
Ilsuit donc de ce qui. ner que la résolution d'une équation générale du degré m=—np, dépend, en der- . nière analyse , de deux équations, l’une du degré
11013: t2 (n—1)n (1.2.3... à ol
et l’antre du degré p, ce qui est plus simple que lorsque m est un nombre premier.
Quand m—6, on peut prendre n—=2, p=3la première de ces Fée devient du dégré
et l’autre du 3°. Suivant les formules du n° 23, les équations auxiliaires se seraient élevées, lune au degré 1.2.3.4 — 24°, l'autre au E°.
Il est bon de remarquer que l'équation du degré p
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 59 étant un facteur de la proposée, celle-ci se décompose en n facteurs, au moyen de n valeurs de la fonction X’.
28. Si lés fonctions de la forme de #, dépendant l'équations plus difficiles à résoudre que la proposée, dès qu elle passe le quatrième degré , ne peuvent con-
duire à la résolution des équations g générales d’un degré
quelconque, il ne paraît pas qu'on puisse attendre plus de succès d’aucune autre fonction des racines, ni d'aucune autre méthode. Le principe de celle-ci ne pourrait différer qu'en apparence de celui de la méthode précédente; et ,:suivant la marche de l’Algèbre, la résolution d'une équation générale doit renfermer toutes ses racines dans une seule expression , puisqu'il n’y à pas de raison pour obtenir une certaine racine plutôt que toute autre. Cette loi se vérifie, en effet, sur les expressions obtenues précédemment ; toutes les racines de l'équation proposée dérivent d’une seule, par l'échange des diverses racines de l’unité entre elles.
Pour le second degré, par exetnple s l'expression des racines étant
y b+V/(a—b} en pu ep
se change en a ou en à, selon qu’on prend le radical avec le signe + ou le signe —.
Il est facile de voir aussi que les expressions des racines de l'équation du cinquième degré , obtenues dans le n° 25, sont comprises dans la formule suivante,
LR 2 2 DE nv + « V GE au BE pa dx) + 8 Gene |, LACET TETE Er)
