En classant par périodes, dans lesquelles red

DES ÉLÉMENS D ALGÈBRE. 317 viennent les mêmes restes , la suite des puissances d’un nombre, ce qui précède fournit le moyen d'obtenir les restes des puissances très élevées; car si l’on demande, par exemple, dans la progression

le reste de la division du terme 8'°% par 13, on cherchera d’abord à quelle puissance on a l'unité pour reste en divisant par 13, et l’on trouverait 27 ou 3 ; on aura par conséquent ainsi de 3 en 3, l’unité : divisant donc 1000 par 3, le reste 1 marquera le rang que tient 5'°% dans la période , et qu’il laisse le même. reste que 3'; donc ce reste sera 3.

Tout ce qui précède supposé seulement que p soit premier par rapport à a: ce qui suit ne s'applique qu'aux nombres absolument premiers.

165. Si p est un nombre premier qui ne divise point a, et a le terme du plus petit exposant, pour lequel on ait at— Ep +1, l’exposant t sera ou p—1, où un diviseur de p —1. |

On a déjà vu que t ne peut surpasser p — 1 ; il reste à montrer qu'il doit diviser p— 1.

d D Soient d’abord 1, æ&', «", etc., les restes des termes

1, €, de. QT;

le nombre de ces restes n'étant égal qu’à t, ils ne comprendront pas tous les nombres 1 ,2,3,...p—1, dans le cas actuel, où l’on suppose << p—1 : ils sont d’ailleurs tous différens, puisque s’il y en avait deux pareils pour deux termes a”, a”, antérieurs au terme a! , il s'ensuivrait que a"— a" = a" (aï" — 1) serait divisible par p, ou que a"=", divisé par p, laisserait

l'unité pour reste, cé qui ne peut afrivet dans l'in-

tervalle de 1 à a’. | | Soit 8 un des nombres de la série 1,2,...p—1,non

compris dans la série 1, &’, æ”, etc.; si l’on multiplie

chaque terme de celle-ci par 8, on formera la série

B,, #8; a", etc., dont la division par p conduira à une nouvelle série de restes que je représenterai par

8, k, &", etc., tous différens , 1°. entre eux, 2°. avéc les restes 1, «”, æ', etc., dont « désignera un quelconque.

La première assertion se prouve en multipliant par £ les deux équations am — Ep + œ, a” = E'p + a, correspondantes à deux termes de la périodé 1, d,... -.aT?; on aura Ba"— REp+ al, pa"=REp+ag;

or , si les nombres «8, «/B, divisés par p, laissaient le

même reste £', il viendrait

aB —= ep + &, dB8—= ep+ 6, d'où £a" = 8Ep + ep + 8, pa” — BEp + ep LÀ &, k Ca” — a") — (F6 — ER + d—6)p:

et comme 8 n'est pas divisible par p, il faudrait que la ” différence a" — a" le fût, ce qui est impossible dans l'intervalle de 1 à at. 4:

La seconde ässertion s’ appuie sur ce que si l’un des

nombres de la série &8', 8”, etc., était le même que

quelqu'un de ceux de la série 1, #, 4", etc., on aurait en même temps

QM—Ep+a et 8a"—=86E'p+8x— E"p + a;

or, cela ne peut être quand mm, parce qu'il en résulterait

a RQ" = EE" )p, ou a"(a" 8) —(E—E")p;

il faudrait donc que a" — 8 füt divisible par p; et comme le terme a"-"” ne peut laisser pour reste qu’un des nombres 1, &’, æ&”, etc.; il faudrait que la différence entre 8 et ce dernier, füt divisible par p, ce qui ne peut être, puisque tous deux sont moindres que p. |

Si m' >m, on considèrerait alors le terme a+", qui laisse le même reste que a", et l’on aurait

atm—ga"=(E —E')p, d’où Ca te SNRE —£g)=(E —E")p; or,t+m—m<t dans cette hypothèse; ainsi l'absurdité est encore la même que dans le cas précédent.

La série 8,7, 8", etc, n'ayant aucun terme commun avec la série 1, &/, «”, etc., elles contiennent ensemble un nombre 2{ de Rue

Si ces termes n’épuisent pas les nombres 1,2,..p—1, on multipliera les termes de la série 1, é, de A, par y, l’un de ceux qui manquent, et l'on aura n nombre t de résultats,

4 " Y, XV: 27Y» Eic., qui, conduiront à { restes,

Ÿ; Ÿ'} V'; etc,

différens ; 1°. entre eux, 2°. avec les termes de la série 1,4, a", etc., 3°. avec ceux de la série 8, 8, 8", etc.

Les deux premières assertions se prouvent comme précédemment; la troisième se vérifie en observant que si l’on avait en même temps les équations

ga" — Ep + &; * pe gras E' p pv £, !

il en résulterait, sim <m,

ga" — yaw—=(E — Ep, a (Bar — y) =(E —E)p,

Ba" — y serait par conséquent divisible par p; et comme: £a" "/ donne pour reste un des nombres de la série 8, 8°, etc., moindre que p, il faudrait que la différence entre un de ces nombres et +, aussi moindre que p, fût divisible par p, ce qui ne se peut.

Quand m'>1m , on considère le terme a‘*”, qui donne le même que &”, et l’on a l’équation

a" (DTA TE “at y) — (E — E') p e absurde par les mêmes raisons que la précédente.

En joignant les £ termes compris dans la série +, V', etc. , avec ceux des séries précédentes, on a en tout 3t de nombres distincts, tous entiers, tous moindres que p.

Si les nombres 1 ,2,....p—1},ne s’y trouvent pas tous compris, en prenant un de ceux qui manquent, on formera une nouvelle série entièrement distincte des trois précédentes, contenant & termes; et en continuant, puisque rien ne s'y oppose , de procéder ainsi, il faudra bien qu’on épuise, par un nombre multiple de {, ceux de la série 1, 2,....p—1, qui

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. Boi

w’en renferme qu'un nombre limité

: donc t sera un diviseur de p— 1.