La quantité À # étant un nombre entier , si
l'on élève les deux membres de l'équation
= Ep + 1 à la puissance marquée par ce nombre, il viendra
t(p—1) Pie me Je arte (Ep Hi) T4
tous les termes du développement de cette puissance ;
excepté le dernier, qui est 1, seront divisibles par p ; ainsi l'on aura
ai Ep+i,
d’où il suit que le nombre aP—'— 1 est divisible par le nombre premier p lorsque a ne l'est pas. Théorème dû à Fermat, et qui à conservé le nom de ce géomètre.
(Voy. ses Opera varia, p. 163).
167. Il existe des nombres tels, qu'aucune de leurs puissances, dans les degrés inférieurs à p—1, ne donne pour reste l'unité, lorsqu'on la divise par p.
Soient a, b, c, etc., les facteurs premiers de p—1 en sorte que a*bc?.etc. — p — 1; on va montrer d'abord qu'il existe des nombres 4,2, C , etc., tels, que
leurs puissances A, pi , Ce? , etc., sont celles du degré le moins élevé qui, däns la division par p, laissent 1 pour reste , et ensuite que le produit 4BC , etc. de ces’ nombres es tel, que (4BC etc.) est écité de ses puissances du du le moins élevé, sur laquelle la division par p laisse 1 pour reste.
Compl. des Elém. d'Alg. 21
Comme depuis 0 jusqu'à p l'équation py = æ" += 7 n’admet au plus que 77 valeurs entières pour æ (154),
P'ÆxX il s'ensuit que si l’on considère la quantité æ # —1, il y aura nécessairement dans la série 1,2,3,...p—=1,un nombre qui, mis à la place de x, ne rendra pas p—1 (
x % —1 divisible par p.
Ce nombre aura également la propriété de ne pas p—:
rendre & ** = 1, divisible par p, car s’il satisfaisait dant.
à Ja condition x ## —=1—= Ep, il satisferait aussi à p—I t2] :
px
Soit g ce nombre; on aura g at — Ep + h®, Æ désignant toujours un entier; et en élevant à la puissance a* les deux membres de cette équation ; viendra
= (Ep+h}t= Ep het, E' désignant aussi un entier. |
Ainsi gt h% est divisible par p; mais par le théorème de Fermat (166), g étant premier à p, gt —1 est divisible par p, ou g?T* est de la forme E"p +1; donc
E'p+1i=Ep+h,
(*) I faut observer qu'ici, et dans tout ce qui suit, latlettre g a pour exposant la fraction placée au-dessus,
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 323 d'où |
h° = Ep — Ep: pa
et par conséquent hr est divisible par p. Les puis-
sances a*", a*”, etc, de 2, pour lesquelles
P—7 gt (Ep + RÉTe Ep he, PEr ee ARCS g® = Ep + = Ep+he ?,
etc. ; 14
ne remplissent point cétte condition, puisque les quanp—i pi | tités g % ,...g 4% ,etc., par hypothèse, ne la rémplissent pas; mais, d’après le n° 165, le plus petit exposant de, la puissance du nombre k, qui rend lä quantité kt—1 divisible par p, doit diviser a”, puisque
h — 1 est divisible par p; or a'étant premier, a%-ne peut être divisé par d’autres nombres que a et ses puissances, mais ce ne peut être aucune de celles qui sont inférieures à la puissance &, puisqu'on vient de voir que h«* — "—1ne saurait être divisible par p, quand p—1 TN g € ne l’est point : donc = a*; donc le nombre #, p—1 reste de la division de g % par p, est le nombre A demandé. On trouverait dé même des nombres 2, C', etc.
Maintenant, puisque les nombres
Aë, BU, C7,
824 COMPLÉMENT sont de la forme Ep +1, leurs puissances et les pro-
‘duits de ces puissances seront aussi de la même forme (163), et par conséquent
Aa" pa*Rer Ca PT — (4BCÿ-:
sera aussi de cette forme; et de plus, p — 1 sera Île
plus petit exposant qui rend (4BC) — 1 divisible par
p. En effet, si l’on suppose que le produit des nombres
A,B,C, soit tel, que (4BC) = Ep +1, t étant
moindre que p— 1, il faudra que t divise p—?r,
Pr t
ou que .
soit entier (165); et puisque .......
p—1 — à LÉ c? , le quotient ne peut être qu'un des nombres a, b, c, ou un de leurs multiples.
Soit, par exemple, Fi
na ; On aura p—1—=nût,
\ pr | ] e e ° . —] d’où in; ainsi £ divisera À À dans ce cas,
er el et én vertu de l’hypothèse , (4BC) « —1sera divisible par p (163). Mais puisque B, C, séparément, sont tels que | pb? Ep 1, CYŸ—E"p+ 1,
| duos le produit Ba "We? Ca“ be? —(BC) * = E"p+1; PES Far et si(4BC) * —EÆEp+1, il faut que 4 * —E"p+1, dr, | car À % = Ep + h donnerait
p—1 (ABC) * =(E"p+h) (E"p+1)=E£E"p + k.
D'un autre côté, 4 étant tel, que 4**—1 est divisible par
p, il faudra, par le n° 165, que a“ divise P “+ x , où que
P—1 . À F £ ; PRE soit un entier, ce qui est impossible; puisque
pr at bot Bo TR ns a+! rt Q
poser { d’un degré inférieur à p — 1.
168. Il suit de là que si l’on désigne par g le produft ABC, ou le plus petit reste de la do de ce produit par p, ou enfin un nombre tel, que g—* en soït la puissance la moins élevée de la Eine Ep + 1, les restes de la division par p des puissances
Br Br Sr Bones BP, comprendront tous les nombres 1 ,2,3,...p—1, mais
dans un ordre différent de l’ordre naturel.
Si, par exemple , p—19, on pourra prendre par et en divisant les diverses puissances de ce nombre par 19 ; on formera la table suivante :
Dtarbites, 29,2, 25, 94, 2°, off 2198 Restes. 1B1,2104,109,40,19;:71 14, @; Puissances. 929, 21°,911,914 913 914 915 916 917
Restes. 1017 20 6 , 13 D T0
Il y a entre ces restes et les exposans auxquels ils correspondent, des relations analogues à celles des nombres et de leurs logarithmes, et Euler a désigné sous le nom dé racines primitives, par rapport au nombre p, ceux dont les puissances fournissent tous les restes 1, 2, 3, ...p:—1; de cette manière 2 est
racine primitive à l'égard de 19. La même racine primitive peut convenir à plusieurs nombres premiers, et le même nombre premier a le plus ordinairement plusieurs racines primitives. On n’a pas encore de procédé pour trouver directement ces racines ; mais Lagrange, dans la note XIV de son Zraité de la Résolution des Équations numériques ; en a donné une table pour les nombres premiers jusqu'à 37, à cause de leur usage dans la résolution de l'équation æ—1=0, découvert par M. Gauss, et qu'il a lui-même beaucoup simplifié, en le combinant avec la méthode exposée dans les n°° 93 et 24: voici à peu près comme il procède,
