Soit l'équation IPæIZ= O0 C

p étant un nombre premier; si l’on en ôte le facteur %— 1, 0n aura seulement à résoudre l'équation

LEE LE 5 À dre 2 (2),

dont les diverses racines se ‘déduisent des puissances d’une seule (17), en sorte que si l’une queléonque de ces racines était désignée par r, les autres seraient r°, r°,...1P7%, Mais si a représente une des racines primitives du, nombre p, on trouvera! aussi toutes les racines de l’équation (2) dans la série.

TU, no NIrOT, puisque les exposans der, divisés par. p, laisseront pour restes tous les nombres entiers, depuis 1 jusqu’à p—1.(168), les seuls dont il faille (tenir compte, à cause, que == 1 ; en vertu de l’équation:(1). Substituant donc aux racines x’, x", x", etc., dans la! fonction {’dun° 93, les puissances de r prises dans Fordre

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 397 indiqué ci-dessus, et changeant m en p—1, on aura

= T7 + rt + Qr ape D ap ? .

æ étant une des racines autre que 1, de l'équation Ra RO;

Cela posé, si dans l’expression de ton change ren r°, elle deviendra

2 3 +42 P—1 mn ù Hart Hart... paire ;

et comme a}, divisé par p, laisse 1 pour reste, la puissance 7%” sera équivalente à r, ce qui changera

l'expression ci-dessus en 3 —n TO art Hart. Tr D aPTr,

résultat qui est le même que celui qu’on déduirait de la première valeur de f, en. la multipliant par «—?, et en observant que «4?! — 1: on aura donc

ap = art + are. sr,

Changeant r en r* dans cette dernière expression, on verra de même que c’est comme si on l’avait multipliée par æ—?, que le résultat est par conséquent la valeur de aPT 35, et qu'il naîtraitaussi du changement der en r* dans la première valeur de {, Un nombre p — 2 de pareils changemens successifs , épuisera.tous ceux qu'on peut faire en substituant à r ses diverses puissances, puisqu'elles reprennent les mêmes valeurs à partir de r7". On formera donc ainsi les valeurs des p — 1 fonctions

t, aP2t, aP3t,.... at,

dont la puissance p—1 sera la fonction 0, qui aura par conséquent la propriété de conserver la même valeur,

lorsqu'on y changera ren r“, r*, r® , etc, Son expression , développée suivant les puissances de « rabaissées au-dessous du degré p— 1, sera de la forme

2 + aË — Ce dl ss aPrrEUT2),

où les fonctions £, #', £”, etc. , ne contiendront que des puissances entières et positives de r, et demeureront les mêmes, lorsqu'on y changera r en r°, r”, etc. (24), propriété quien simplifie considérablement l'expression.

170. D'abord, il est évident que toute fonction rationnelle et entière de r, peut être réduite à la forme

A+ Br + Cr + Dr....+ Pr a,

quand # — 1, et qu'ainsi elle peut encore être mise sous la foie

AH Br Cri Dr. Pr,

lorsqu'on substitue aux exposans 1,2, 3,...p—1, les puissances de a, dont ils dérivent comme restes de la division par p ; seulement l’ordre de succession des puissances n'étant pas le même que celui des restes, les coefficiens 2, €, D,....P, changeront de place, en passant d’une forme à l’autre; B”, par exemple, sera l'un de ces coefliciens , mais non pas le même que Z. Si maintenant la fonction dont il s’agit doit demeurer la même, lorsqu'on y changera r en r°, ce qui est le cas des fonctions £, #”’, etc. , il faudra que l'égalité

A + Br + Cr + Dr... Pr = A HBTÆE Cr E Br... + P'r, ait lieu indépendamment de r, et que par conséquent

P'ECNUCE Di: DEN

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE, : 329 valeurs qui réduisent à

7 do 08 : A Ce où bn oi le LRO Le 1 177

la fonction proposée , ou bien à

si l'on désigne par s la somme de toutes les racines de l'équation (2). | |

Il suit de là que les fonctions £, £’, etc., seront connues immédiatement ; car le développement de 8 ou de #7? donnera les coefficiens 4 et B', et l’on a s——1, puisque le coefficient du second terme de l'équation (2) est + 1. La fonction 8 étant donc ainsi déterminée, on pourra, au moyen des p—1 valeurs de V/0, former les valeurs de r, par le procédé indiqué dans le n° 25; 1] sera donc toujours possible de résoudre algébriquement l'équation x?— 1 —0, p étant un nombre

premier, lorsqu'on aura les racines de l'équation... YP'—1—=0o.

171. La démonstration de ce théorème est le résultat le plus important de la méthode précédente ; car, pour les applications numériques, on a, depuis long-temps, un procédé beaucoup plus donites (voyez la note de la page 120); je n'entrerai donc pas dans le détail des abréviations dont cette méthode est susceptible , cause que p — 1 est toujours un nombre composé (26). On les trouvera dans l’ouvrage de Lagrange (*) ; je me

(*) On prouverait, par leur moyen, que les racines de toute

équation de la forme x?" T1 1 — 0, lorsque son exposant est un nombre premier, ne dépendent que dé équations du second degré, et que par conséquent on peut effectuer, avec la règle et le compas, la division du cercle en 2* +1 parties égales,

bornerai au développement d'un exemple très simple ; destiné seulement à particulariser les inelctihn géné rales du n° précédent.

L'équation x°— 1 — 0 étant ramenée à aa ka trio,

et la racine primitive de 5 étant 2, of aura

tr ar + ar? aër°, ce qui révient à t= 1 + ar + cerf ar,

en abaïssant au-dessous de 5 le dernier exposant de r, et & étant une des racines autre que l'unité , dans l'équation yf— 1 =o. |

En effectuant le développement de ff, dans, la forme

O—E+ar T dE" + UE",

on trouvera

SroTi ie 4) E"= 14, £0 té:

d'où bar + Aa Hi4at m6

puis mettant:pour « ses trois valeurs, qui sont e

LE EP à V1 PME

on trouvera

ee 05, ge = 15 + 30V —1, PE ir 29 “r 20W/—1.

Le procédé indiqué dans le,n° 25 , fourmit les équations

VE = 2 + ax" + x" Æ ax,

VE = 2 + pc" + Par + Ba,

VF = a + yat + y + vx", qui, jointes à l'équation

A — x! + x" + x" + debut donneraient À

AHVPEVPEVE 4 r,

et par conséquent, din 41 7e AU!

ra A VENTE);

PEU AU AS NE Le mais comme chacune des expressions 4/6, 9/87, 9/6"; est susceptible de quatre valeurs , l'emploi de toutes ces valeurs en produirait 64 pour l’inconnue r, entre lesquelles il faudrait faire un choix, par des considérations analogues à celles qui terminent les n° 19 et 20. Lagrange ne s'étant pas rappelé cette circonstance, a donné ,sur la page 284 de son ouvrage (2° édit.), un résultat inexact ; mais on est dispensé de tout examen ultérieur, quand on cherche les racines communes anx équations Lu THE +Lr+iZzo, et

t—= 7 + ar + arf + ar.

| 4. we Lorsqu'on fait a—œ—1,46—4/0 — V5, on tronve le facteur commun