LIVRE I

18. \ji produit de tant de nombres qu'on voudra, positifs ou négatifs , est le résultat qu’on obtient en multipliant le pmnier parle second, le produit obtenu par le troisième , et ainsi de suite , jusqu'à ce qu’on ait multiplié par le dernier des nombres proposés.

Chacun de ces nombres est un facteur du produit.

Remarque. Pour exprimer un produit de plusieurs nombres représentés par des lettres , on écrit ces lettres les unes à la suite des autres, sans interposition des signes plus on moins, .\insi abc^d a la même signification que ax6xc®xc/.

PROPOSITION V

Le produit de plusieurs monomes est égal au produit de leurs valeurs absolues , précédé du signe plus ou du signe moins, suivant que le nombre des facteurs négatifs est pair ou impair.

1° Im valeur absolue du produit de deux facteurs étant le produit des valeurs absolues de ces facteurs (déf. 16 et 17), il en sera de même de la valeur absolue du produit de tant de facteurs qu’on voudra (déf. 18).

2* En supposant que les deux premiers facteurs soient positifs, leur produit sera positif (déf. 16) et restera positif tant qu’on n’aura pas employé de facteur négatif; le premier multiplicateur négatif rendra le produit négatif (déf. 17), et ce produit restera négatif tant qu’on n’aura pas employé un second facteur négatif; le second multiplicateur négatif rendra le produit positif (déf. 16), et ce produit restera positif tant qu’on n’aura pas employé un troisième facteur négatif; le troisième facteur négatif rendra le pro-, doit négatif , et ainsi de suite ; de sorte que , en définitive, on obtiendra un produit positif ou négatif, suivant que le nombre des facteurs négatifs sera pair ou impair.

i 2 COMPLÉMENT P’aIUTHUÉTIQUE.

La démonstration est la même, lorsque les deux premiers facteurs sont négatifs ou de signes contraires.

Corollaire 1. Toute puissance d’un nombre négatif est positive ou négative, suivant que le degré de la puissance est pair ou impair. Car suivant que le degré est pair ou impair la puissance est le produit d’un nombre pair ou impair de facteurs négatifs.

Corollaire 2. Le produit de plusieurs monomes ne change pas de valeur, lorsqu’on intervertit l’ordre de ses facteurs. Car le signe du produit ne dépend que du nombre des facteurs négatifs , et sa valeur absolue ne varie pas avec l’ordre des facteurs (ar. liv. 1 et 3).

Corollaire 3. Pour multiplier un nombre m par un produit, il suffit de multiplier ce nombre par le premier facteur, le résultat obtenu parde i^econd fadeur, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait multiplié par le dernier fadeur. Car on a m X abc = abc x m = abcm = mabc.

Corollaire 4.. Lorsqu'on multiplie un facteur d'un produit par un nombre m, le produit est multiplié par ce nombre. Car on a axbm x c = abmc = abcm.

PUOPOSITION VI.

Un produit ± P change ou non de signe , lorsqu’on change les signes d’un nombre impair ou pair de ses facteurs.

Selon qu’un produit ± P est positif ou négatif, le nombre de ses facteurs négatifs est pair ou impair (pr. 5). Cela étant, si l’on change le signe d’un seul facteur positif ou négatif , on aura un facteur négatif de plus ou de moins et, par suite , un nombre impair ou pair de facteurs négatifs au lieu d’un nombre pair ou impair qu’on avait précédemment; donc le produit sera ^:P au lieu de ±P. Par la même raison, le produit P changera de signe et deviendra ± P, si l’on