LIVRE

change le signe d’un second facteur, et ainsi de suite ; donc, en définitive, le produit e P aura changé ou non de signe, suivant qu'on aura changé les signes d’un nombre impair ou pair de ses facteurs.

Corollaire, a et b désignant des nombres positifs ou négatifs, on a a y. {— b) = — ab. Car b et —b étant des nombres de même valeur absolue et de signes contraires (pr. 3, cor. 2), en remplaçant —6 par 6 on a changé le signe du multiplicateur et, par suite, celui du produit. On voit de même que (— a)xé = — aé et que (— o) x (— é) = aô; donc un produit de deux et, en général, de tant de nombres qu'on voudra, positif s ou négatifs et représentés par des lettres précédées de l'un des signes plus et moins, peut s'effectuer en faisant abstraction de tous les signes et en affectant le résultat du signe plus ou du signe moins selon que le nombre des fadeurs précédés du signe moins est pair ou impair (pr. 5).

PROPOSITION Vil.

Pour multiplier un binôme A. + Bpar un nombre M, il suffit de multiplier chaque terme du binôme par ce nombre.

En supposant d'abord M positif et désignant par a,b,m les valeurs absolues de Â, B, M, on aura à démontrer les égalités

{•) (a + 6)x»i = aXw + éX wi

(2) [( —a) + {— ô)] X w = (— o) X m + {— é) Xffi

(5) [( + o)-f(— é)] X»i = ( + a) X wi + (— é)x»« é<a

(4) [(+«) + (— é)]x JW = ( + «) X »î + (— é)xw é>a .

1° L’égalité (i) a été démontrée en arithmétique (liv.l el3j.

2° On a [( — a) + ( — 6)] X m =[ — (o + é)] X m =

— (a + ô) X m = — [am + é >«) = (— n) X w + [—b] y m.

3° On a é)]x»» = (a — ô)xin = am— éwi

(ar. liv. 1 et 3) =aXM + (— 6)xm.

COUPLÉMENT d’aRITHUÉTIQOE.

4® On a [« + (— 6 )]x»m = [— (6— a)] xm=

— [bm—am)=—bm+am = ax«i + ( — ô)Xm.

Lorsque M est négatif, on a (pr.6) (A+B)x( — *») = — (A+B)x»i= — (Affi + Bffi) = Ax { — m) + Bx[— «)-

Corollaire i. Pour multiplier un polynôme par un monôme, il tvfJH de multiplier chaque terme du polynôme par lemonome. Caron a (A4-B+C)xM= [(A4-B)+C] xM= (A + B)xM + CM = AM + BM + CM; (A+B+C+D)x M = [{A+B+C) + D]x M=(A+B+C)xM + DxM = AM + BM +C M + DM, et ainsi de suite.

Corollaire 2. Pour multiplier un polynôme P par un autre ( A + B+C) , i7 suffit de multiplier le premier suecessivemenl par chaque terme du second, puis de faire la somme des produits ainsi obtenus. Car on a (déf.l6etl7)

Px(A + B+C) = (A+B+C) XP = AP + BP + CP = PA + PB+PC.

Corollaire 3. Lorsqu’on multiplie les deux termes d'une différence A — B pur un nombre M, la différence est multipliée par ce nombre. Car, en posant A — B = C, on a A = B+C , AM = BM+CM et AM- BM = CM.

proposition VIII.

Le carré d un binôme a + b se compose du carré du premier terme , du double produit du premier par le second et du carré du second.

Car, pour élever le binôme a+6 an carré, il suffit de le multiplier successivement par a et par 6 , puis de faire la ■somme des produits ainsi obtenus (pr.7,cor.2) ; or(pr.7, cor. 1)

(a+b)'X.a = ay.a + bx.a = +ab et (a + 6)x6 =nxô + 6x<» = o6+6“,

donc [a+bY = a^+^ab+tfi.

Corollaire. Le carré d’une différence (a — b) est égal ««