DIVISION

DÉFINITIONS

i9. Diviser un nombre par un autre , c’est trouver un troisième nombre qui multiplié par le second reproduise le premier.

Le premier des deux nombres proposés se nomme dividende, le second diviseur et le résultat quotient. Ainsi — 3 est le quotient de la division de 12 par —k, parce qu’on a (-3)x(-4) = 12(déf.l6).

PROPOSITION XI

Pour diviser un nombre par un autre, il suffît de diviser la valeur absolue du dividende par celle du diviseur, et d'affecter le quotient du signe plus ou du signe moins, selon que le dividende et le diviseur sont de même signe ou de signes contraires.

D’après la définition de la division (déf. 19}, la valeur absolue du quotient doit être telle que multipliée par la valeur absolue du diviseur, elle reproduise celle du dividende (déf. 16etl7); donc la valeur absolue du quotient est égale à la valeur absolue du dividende divisée par celle du diviseur (ar.liv.3,déf. 11). Quant au signe du quotient, le dividende et le diviseur pouvant être positifs ou négatifs, il y aura quatre cas à considérer. Ainsi, en supposant que 12 et

UTHE I. . <7

soient les valeurs absolues du dividende et du diviseur, il faudra démontrer les égalités

+ -r ou

— p- ou

r- ou

+ -T- ou

1® Le dividende + 12 étant positif, le quotient et le diviseur auront le môme signe (déf.l7,rem.2); or le diviseur + 4 est positif, donc le quotient aura le signe plus.

2” Comme précédemment , le quotient et le diviseur auront le môme signe; or le diviseur —4 est négatif, donc le quotient aura le signe moins.

3® Le dividende —12 étant négatif, le quotient et le diviseur auront des signes contraires (déf.17, rem. 2] ; or le diviseur +4 est positif, donc le quotient aura le signe moins.

4® Comme précédemment (3®), le quotient et le diviseur aui'ont des signes contraires ; or le diviseur — 4 est négatif, donc le quotient aura le signe plus.

PROPOSITION XII

'Pour diviser un nombre m par un produit abc , il suffit de diviser ce nombre par le premier facteur ‘d, le quotient par le second facteur b, et ainsi de suite jmqu'à ce qu'on ait divisé par le dernier facteur.

Soit a' le quotient de la division de m par a , b' celui de a' par ô et celui de b' par c. On aura c' x c = b', b' x a''X.a = m; donc ot =c'xc6a ou tn = c'y.abc (pr.5, cor.3);

;|8 œMPI.ÉMENT d’ ARITHMÉTIQUE.

donc est le quotient de la division de m par aéc(ëéf. 19).

Remarque. Lorsqu'on divise un facteur b d'un produit abc par un nombre m, le produit est divisé par ce nombre. Car on a

(aX — xc]xm=o X { — X»!) Xc^abc.

paOPOSITION XIII.

Pour diviser un polynôme a +b+c par un monome m, il suffit de diviser chaque terme du polynôme par ce monome.

Il s’agit de prouver que •

a + b + e abc

m m mm

c’est-à-dire que est le quotient de la divi-

sion de a+Z»+c par « ou , autrement, que si l’on multiplie J — -* — h — par le diviseur m , on reproduira le

dividende o+A+c. Or, pour multiplier un polynôme par un nombre m, il suffit de multiplier par m chaque terme du polynôme (pr, 7, oor. 1) ; donc

abc. a b c ,

'mmm m m m

Remarque. On prouverait de même que pour diviser une différence a — b par un nombre m , il suffit de diviser chacun de ses termes, a e< b, par ce nombre (pr. 7, cor. 3).

PROPOSITION XIV

Pour diviser l'une par l’autre deux puissances, a"’ et a”, d’un même nombre, il suffit de soustraire F exposant n de ce nombre au diviseur de V exposant m de ce même nombre au dividende.