INÉGALITÉS

DÉFINITIONS

S5. Un nombre a positif ou négatif est plus grand ( 7 a’un autre nombre b positif ou négatif, lorsque le premier est égal au second plus un nombre positif. On dit , dans le même cas , que le second est plus petit que le premier. Ainsi les inégalités a>b, 6 < a signifient a = 6 + iw , m étant un nombre positif.

Remarque, V Pour qu’un nombre b soit plus petit qu’un autre nombre a, il faut et il suffit que le premier soit égal an second moins un nombre positif . Car la relation ô<a donne « = 6 + »net 6 = a — m,w étant positif; et réciproquement, /i=a—m donne 0=6 + »» et 6 <o.

2° Un nombre positif ou nul est plus grand qu'un nombre négatif. Ainsi on a , par exemple , 3 > — V et 0> —1; car 3=-4+7 etO = -l + l.

3" De deux nombres négatifs celui-là est le plus grand qui a la plus petite valeur absolue. Ain» on a, par exemple, — 3>— 4, car — 3 = — 4+1.

COMPLÉMENT d’aRITHMÉTIQUE.

PHOPOSITION XIX.

Lorsqu’on change les signes de deux nombres inégaux , l’inégalité subsiste encore , mais en sens contraire.

L’inégalité a > ô donne a = b + m , m étant positif (déf.23). Changeant les signes de a, 6, m , il vient — a = — b — m (pr. 1) ; donc —a< — b (déf.23,rem. 1°).

PROPOSITION XX

Lorsqu’on ajoute on qu’on retranche unmême nombre c à deux nombres inégaux, l’inégalité subsiste encore da7is le même sens.

L’inégalité a> b donne a = b + m,/n étant positif; donc a±c= (é±c) + m (pr. 2, cor. 3 et pr. 4, rem.); donc o ± c> b±c.

PROPOSITION XXI

Lorsqu’on multiplie ou qu'on divise deux nombres inégaux par un nombre positif c, l'inégalité subsiste encore dans le même sens.

1 " L’inégalité o >6 donne o = ô + »n, m étant positif; donc ac=be-\-mc (pr.7); or wi et r étant positifs, le produit me est positif; donc acybe.

2" La relation a = b-\-m donne "7 = "7 + (pr.l3);

or m et c étant positifs, la fraction ~ est positive (déf. 22 , rem. 2 °); donc -7 > - 7 -