LIVRE II

pas au moins one unité de chacun des ordres inférieurs à l’ordre le plus élevé. C’est pourquoi on fait usage d’un 6^ caractère 0 , nommé zéro, qu’on écrit à la place des unités qui manquent , pour conserver à chaque chiffre significatif placé à sa gauche le rang qui convient à l’ordre des unités qu’il représente. Il en résulte que l’unité du second ordre s’écrira 10; celle du troisième, 100; celle du quatrième, 1000; et ainsi de suite, comme dans le système décimal.

PROPOSITION PREMIÈRE

Etant donné un nombre N^em7 dans le système dont la base est b, écrire ce nombre dans le système décimal.

Désignant par A^,Aj, A^... les chiffres successifs du nombre proposé à partir de la droite, et observant que A, représente des unités simples, A^ des unités du second ordre dont chacune vaut b unités simples, des unités du troisième ordre dont chacune vaut b' unités simples, et ainsi de suite jusqu’à A^ qui représente des unités du ordre dont chacune vaut à”-* unités simples , on a

ou N^ = A,+A/ + A36* + A/*-l-Ajà',

en supposant que 5 soit le nombre des chiffres de N^. Cela étant, puisqu’une unité d’un ordre quelconque vaut 6 unités de l’ordre immédiatement inférieur, si l’on multiplie par b le nombre A ^ des unités du cinquième ordre et qu’on ajoute au produit le nombre A^ des unités du quatrième ordre, on obtiendra le nombre total kj)-\-k^ des unités du quatrième ordre : en multipliant ce nombre par b et ajoutant A^ au produit, on aura de même le nombre total des unités du troisième ordre, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait obtenu le nombre total des unités simples, qui sera le nombre demandé.

COMPLÉMENT D’aRITHMÉTIQÜE.

En général, étant donné un nombre écrit dans le système dont la base est b , pour écrire ce nombre dans le système décimal, on multiplie son premier chiffre à gauche par la base b en ajoutant le second chiffre au produit; on multiplie le résultat par b en ajoutant le troisième chiffre au produit, et ainsi de suite jusqu’au chiffre des unités simples; le dernier résultat est te nombre demandé. En appliquant cette règle au nombre Slj-GSS, écrit dans le système dont la base est 7, on a 3x7 + 4=25, 20 x 7 + 6=181, 181x7 + 5=1272, 1272 x 7 + 3 = 8907; donc 34653, = 8907,^.

enoposiTiON ii.

Réciproquement , étant donné un nombre écrit dans le système décimal , écrire ce nombre dans le système dont la base est b.

A,, Aj, Ag...A^désignantleschiffresdunombredemandé,

on a N,p = A, + Aj 6 + A 3 è’ + ... + A^ 6 »-‘;

donc le nombre donné est égal à un multiple de b, augmenté de A^ ; or A, est moindre que b ; donc A^ est le reste de la division de par 6 et, en désignant par Q, le quotient de cette division , on a

Q, = Aj + Aj^ + A^ô’ + .-. + A^ô»-*;

d’où l’on conclut, comme précédemment, que A^ est le reste de la division de Q, par b. Le deuxième quotient

Qj = A3 + A/ + Ajô * + . . . +

ce qui montre encore que A 3 est le reste de la division deQ^ par b, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait obtenu un dernier quotient ^ résulte cette règle générale :

étant donné un nombre écrit dans le système décimal , pour

UVBE II.

écrire ce nombre dans le système dont la base est b, on divise successivement, par la base b, le nombre proposé, le quotient de cette première division , celui de Ut deuxième division , et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait obtenu un dernier quotient moindre ywe b; ce quotient et les restes précédents sont les chiffres successifs du nombre demandé, à partir de la gauche.

Ed appliquant cette règle au nombre 62351 qu'on veut écrire dans le système dont la base est 7 , on divise 62351 par 7, ce qui donne le quotient 8907 et le reste 2; divisant 8907 par 7, on a le quotient 1272 et le reste 3; divisant 1272 par 7, on a le quotient 181 et le reste 5; divisant 181 par 7, on a le quotient 25 et le reste 6; divisant 25 par 7, on a le quotient 3<7 et le reste 4 ; donc les chiffres demandés sont, à partir de la gauche, 3, 4, 6, 5, 3, 2, et on a 62351,^=346532^.

PROPOSITION III

Additionner des nombres entiers écrits dans le sys- Ihne dont la base est b.

Soit proposé, par eiemple, d’additionner les nombres ^58, 7^6, 6<'>9 , écrits dans le système dont la base est douze.

En raisonnant comme pour l'addition des nombres entiers dans le système décimal (liv.l,pr. 1], on dira : 9 unités simples et 6 unités simples donnent 15 unités simples; 15 et 8 donnent 23 unités simples ou w unités simples, qu’on écrit sous le chiffre 9 des unités simples du nombre 6“9, et 1 unité du second ordre qu'on reporte à la colonne suivante , en

30 COUPLÉHENT d'aIITHMÉTIQUE.

disant 1 et 11 donnent 12, 12 et 10 donnent 22, 22 et 5 donnent 27 unités du second ordre ou 3 unités du second ordre, qu’on écrit sous le chiffre » de 6»9, et 2 unités du troisième ordre qu’on reporte à la colonne suivante , en disant 2 et 6 donnent 8 , 8 et 7 donnent 15, 15 et 10 donnent 25 unités du troisième ordre ou 1 unité du troisième ordre , qu’on écrit sous le chiffre 6 de 6&>9, et 2 unités du quatrième ordre qu’on place à la gauche du chiffre 1 des unités du troisième ordre. Le résultat est 213».

En général, pour additionner des nombres entiers écrits dans le système dofit la base est b, on dispose tes nombres proposés et on opère comme dans le système décimal (liv.l, pr. 1}, en écrivant les unités de chaque somme partielle sous la colonne correspondante et reportant les unités de l'ordre immédiatement supérieur à la colonne suivante.

PROPOSITION IV

Trouver la différence de deux nombres entiers écrits dans le système dont la base est b.

Soit proposé de trouver la différence des nombres »4S, 658 écrits dans le système dont la base est 12.

En raisonnant comme pour la soustraction des nombres entiers dans le système décimal (liv. l,pr.2), on dira 8 unités simples ôtées de 10 unités simples, il reste 2 unités simples, qu'on écrit sous le chiffre 8 du plus petit nombre ; ôter 5 unités du secoiul oi’dre de 4 unités du second ordre, cela est impossible; alors on augmente le chiffre 4 du nombre supérieur de 12 unités du second ordre , ce qui

LIVRB n.

doBne 16 unités du second ordre , et l’on dit : 5 nnités du second ordre dlées de 16 unités du second ordre , il reste a unités du second ordre , qu’on écrit sous le chifi're 5 du plus petit nombre : pour ne pos altérer la diflfêrence , on augmente le plus petit nombre de i-2 unités du second ordre ou d’une unité du troisième ordre, et on dit : 7 étées de 11, il poste 4 unités du troisième ordre qu’on écrit sons le chilTre 6 du plus petit nombre. On obtient ainsi le résnitat qui, ajouté au plus petit des nombres proposés, reproduit le plus grand.

En général, pour trouver la différence de deux nombres entiers, écrits dans te système dont la hase est b, on dispose tes nombres proposés et on opère comme dans le système décimal (liv. 1 , pr. 2) , en ayant soin, lorsqu’un chiffre inférieur excède le chiffre supérieur correspondant , d’augmenter celui-ci de b unités de son ordre , puis d'ajouter une unité au chiffre inférieur suivant,

PROPOSITION V

Faire le produit de deux nombres entiers écrits dans le systhne dont la base est b.

1° Lorsque les facteurs sont formés d’un seul chiffre , on peut faire usage d’une table analogue à celle de Pythagore (Wv. l,déf.4), qui contient tous les produits de deux nombres d’un seul chiffre dans le système dont la base est b, et qu'on forme par des additions successives.

2" Soit proposé de multiplier le nombre entier 743, écrit dans le système dont ta base est 8 , pur le nombre 7. En raisonnant comme ponr la multiplicatton d’un nombre de phistears chiffres par un nombre d’un seul chiffre dans le système décimal (liv.l, pi\6) , on dira : 7 fois 3 unités simples donnent 2t unités simples ou 5 unités simples, qu’ofi écrit sous le chiffre 3 du multiplicande , et 2 unités du second ordre qu’on reporte au produit suivant ; 7 fois

COMPLÉMENT D’aRITHHÉTIUDE.

k donnent 28 , qui , augmentées de 2 , font 30 unités du second ordre ou 6 unités du second ordre, qu'on écrit sous le chiffre ï du multiplicande, et 3 unités du troisième ordre qu’on reporte au produit suivant ; 7 fois 7 donnent k9 , qui , augmentées de 3 , font 52 unités du troisième ordre ou ï unités du troisième ordre , qu’on écrit sous le chiffre 7 du multiplicande , et 6 unités du quatrième ordre qu’on place à la gauche du chiffre 4.

En général, pour multiplier un nombre de plusieurs chiffres, écrit dans le système dont la base est b, par un nombre d'un seul chiffre , on opère comme dans le système décimal (liv. 1, pr.Gj en écrivant les unités de chaque produit partiel sous le chiffre correspondant du multiplicande et reportant les unités de l'ordre immédiatement supérieur au produit suivant.

3» Soit proposé de faire le produit 6743 x 567 de deux nombres de plusieurs chiffres, écrits dans le système dont la base est 8.

En raisonnant comme pour la multiplication de deux nombres de plusieurs chiffres dans le système décimal (liv. l,pr.7), on multiplie d’abord 6743 par 7 (2°), ce qui donne le premier produit partiel 60465, qu’on écrit de manière que son premier chiffre à droite soit au-dessous du chiffre 7 du multiplicateur. Pour multiplier 6743 par 60 ou par 6 X 10, on le multiplie par 6 , ce qui donne le second produit partiel 51522 qu'on multiplie par 10, en l’écrivan^ de manière que son premier chiffre à droite soit au-dessous du chiffre 6 du multiplicateur; enOn , pour multiplier 6743 par 500 ou par 5 x 100 , on le multiplie par 5, ce qui doune