LIVRE II

PROPOSITION VIII

Le nombre des chiffres d’un produit de plusieurs nombres entiers a, b, c est au plus égal au nombre total des chiffres de ses facteurs , et au moins égal au nombre total des chiffres de ses facteurs moins le nombre de ces facteurs diminué d'une unité.

1° Supposons que a contienne a chiffres, que b en contienne ^ et que c en contienne Quelle que soit la base du système de numération , le facteur a, contenant a chiffres, est moindre que l'unité suivie de « zéros; pareillement, b est moindre que l’unité suivie de 3 zéros, et c moindre que l’unité suivie de ^ zéros; donc le produit abc est moindre que l’unité suivie de (“+3+7) zéros ou que le plus petit nombre de (*+3+7 + 1) chiffres; donc ce produit contient au plus (a +3 +7) chiffres.

2° Le facteur a, contenant * chiffres, est au moins égal à i’unité suivie de (*— 1) zéros; pareillement, b est au moins égal à l’unité suivie de (3—1) zéros, et c au moins égal à l'unité suivie de (7— 1) zéros; donc le produit abc est au moins égal à l’unité suivie de [(*—1) + (3—1) + (7— 1)] ou (*+3+7—3) zéros; donc ce produit contient au moins (a+3+7— 3+1) ou (a+3+7-2) chiffres, et, en général, au moins [*+3+7— (n—1)] chiffres, n étant le nombre des facteurs du produit.

PROPOSITION IX

Lorsqu’un nombre a est égal à un multiple bq d’un autre nombre b, augmenté d’un troisième nombre r, le premier nombre est aussi égal à un multiple du second, diminué de l'excès b — r du second sur le troisième.

COMPLÉMENT d’aRITHMÉTIQUE.

On a, par hypothèse , a=bq+r. Ajoutant, puis retranchant b au produit bq, on a encore a=bq-\-b — 6 + r ou a=by.{q+l) — (6— r), (liv. l,déf.2,rem.3°).

Réciproquehent. Lorsqu'un nombre a est égal à un multiple bq d’un autre nombre b, diminué d'un troisième nombre r, le premier nombre est aussi égal à un multiple du second, augmenté de (excès b— r du second sur le troisième. Car on a a=bq — r et, par suite, a=bq — b + b—r = 6x (y — 1) + (6 — r).

Corollaire. Lorsque , dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres entiers (liv. 2, pr. 10) , un reste r excède la moitié du diviseur correspondant , on peut substituer à ce reste un nombre moindre que la moitié de ce diviseur. Car, a et ô étant le dividende et le diviseur correspondants au reste r, a est égal à un multiple de 6 augmenté de r, donc a est aussi égal à un multiple de b, diminué de b—r, de sorte qu’en posant 6 — r = r' on a a = bq — r' et r'^bq — a, q étant un nombre entier; donc les nombres a et b ont les mômes diviseurs communs que les nombres 6 et / et, par conséquent, le môme plus grand commun diviseur; d’où il résulte qu’on pourra, dans la suite des opérations , remplacer r par r', qui est moindre que iô, puisqu’on a r-l-;^=ù et r>

PROPOSITION X

Trouver le reste de la division d'un nombre entier N, écrit dans le système dont la base est b, par un nombre d égal d b— 1 ou à b + 1.

1” En désignantpar A,, A^, A,... A„ les chiffres du nombre proposé à partir de la droite, on a

N=A, + A2é + Aj6^4-...4-A^6'*-< ; or, le diviseur d étant égal à 6-1 , on a b=d+i-, donc 6x6 ou 6" est égal à un multiple de d, augmenté de 6 ou à