LIVRE
PROPOSITION XVIII
Trouver la somme des diviseurs entiers d’un nombre A.
Soit A = , a, b, c étant des nombres premiers
inégaux et plus grands que l’unité. On a vu (liv.2,pr.35,
rem.) qu’en multipliant les nombres 1 , o, o*, a’ o*
successivement par chacun des nombres 1, b, 6’... b^, puis chacun des produits par chacun des nombres 1, c, c’, c^.. cf, les résultats ainsi obtenus sont les diviseui's de A ; donc la somme S de tous ces diviseurs est égale au produit
(1 +« + «» + . ..+a“)x(t+/^ + 6* + ... + 6'^) xll+c+c^+.-.+c"^);
or
et l + 6 + 6'‘ + ...+6P = ~— , etc. (liv.5,pr.35);
donc S = ;; — X — r j- X J— •
En prenant pour exemple le nombre 360, on a (liv. 2, pr. 32) 0=2, 6=3, c=5, a=3, P=2, 7=1 et, par suite, 8=15x13x6=1170.
PROPOSITION XIX
De combien de manières un nombre entier A peut-il être décomposé en deux facteurs entiers?
Lorsque deux nombres entiers p et q sont tels que pq = A, chacun de ces nombres est un diviseur de A; donc à chaque produit pq de deux facteurs, égal à A, correspondent deux diviseurs et ? de ce nombre, excepté dans le cas particulier où , A étant un carré , les deux facteurs sont égaux à l/A; donc, lorsque A n’est pas un carré, le nombre
B des manières dont A peut être décomposé en deux facteurs entiers est égal à la moitié du nombre des diviseurs de A, et lorsque A est un carré, n est égal à la moitié du nombre plus un des diviseurs de A; donc, en supposant a, b, c, etc., étant des nombres premiers inégaux, on aura (liv.2, pr.35,rem.) n = i[(«+l)x (P+1) x(t+1)... + 1] ou B=i(a + l)x(3 + 1)x(i+l)..., selon que A est ou n’est pas un carré.
Corollaire. Pour en déduire le nombre b' des manières dont A peut être décomposé en deux facteurs premiers entre eux, il suffit de supposer «=1, P=1, , ce qui
donne
B'=i(l + l)x(l + l)x(l + l)... ou b'=2*-',
k étant le nombre des facteurs premiers o, b, c... de A. Lorsque A=360, le nombre A=3, et on trouve n'=h.
PROPOSITION XX
Tout nombre impair est égal â un multiple de 4 , augmenté ou diminué d'une unité.
En divisant un nombre entier par 4, on obtient pour reste un des nombres 0, 1, 2, 3; donc tout nombre entier est susceptible de l’une des formes 4b, 4n + l, 4«+2, 4b + 3 : mais 4n et 4 b + 2 sont des nombres pairs, et 4b + 3, étant un multiple de 4, augmenté de 3, est aussi égal à un multiple de 4, diminué de (4—3) ou d’une unité (pr.9); donc tout nombre impair est susceptible de l’une des formes 4b + 1,4b— 1.
Remarque. On prouverait de môme que tout nombre entier, non divisible par 'i, est égal à un multiple de^ augmente ou diminué d'une unité; et que tout nombre entier, premier avec 6, est égal à un multiple de G, augmenté ou diminué d'une unité.
