LIVRE II

PROPOSITION XXI

Trouver la plus grande puissance d’un nombre premier p>1 , (jui divise le produit des n premiers nombres entiers.

Soit n' la partie entière du quotient de la division de n par p. Les seuls facteurs du produit 1x2x3... Xn, divisibles par P, sont p, 2p, 3^... n'p; donc la plus grande puissance de p, qui divise ce produit, est égale à p"’ multiplié par la plus grande puissance de p, qui divise le produit 1x2x3, ..Xn'; désignant par n" la partie entière du quotient de la division de n' parp, on prouverait de même que la plus grande puissance de p, qui divise le produit 1x2 X 3. .. X n', est égale à p"" multiplié par la plus grande puissance de p, qui divise le produit 1x2x3... xn", et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait obtenu un quotient n'" , par exemple, moindre que p ; alors p, ne divisant aucun des facteurs du produit Ix2x3...xn'", est premier avec ce produit ; donc la plus grande puissance de p, qui divise le produit 1x2x3. ..xn", est p""'; donc celle qui divise le produit 1x2x3... xn' est p*"p"'" ou p'‘"+""', et enfin celle qui divise le produit 1x2x3... xn est p'‘'p" ou pn'+n"+n"\ En général , pour trouver la plus grande puissance d’un nombre premier p>l, qui divise te produit des n premiers nombres entiers, on divise successivement par p le plus grand facteur n, la partie entière n' du quotient, la partie entière n" du second quotient , et ainsi de suite jusqu'à ce qu’on ait trouvé un quotient moindre que p; la somme de tous les quotients n', n"... , ainsi obtenus, est le degré de ta puissance demandée.

On trouve, par exemple, que la plus grande puissance de 7, qui divise le produit des 100 premiers nombres entiers, est égale à 7'“.

PROPOSITION XXII

Le produit 1 X2 X 3.. . X a es< divisible par le produit (1 x2x3... xp) X (1 x2x3...xy)x (1 x2x3... xS) X..., lorsque le dernier facteur a du premier produit est au moins égal à la somme (p+y + ^ + ... ) des derniers facteurs de tous les autres.

Soit P un nombre premier plus grand que l’unité , la

partie entière du quotient de la division de « par p, *" celle du quotient de la division de a' par p, et a'" celle du quotient de la division de «" par p. En supposant et

désignant par p", p'", •/, •/', S', B", B'"... les quo-

tients analogues à «■", a'", auxquels conduisent les derniers facteurs P, i, ^..., on aura, à plus forte raison, ■/"<p, S'" ; mais »'+«"+«'" est le degré de la plus grande puissance de p, qui divise le produit 1x2x3. ..X» (pr.21); pareillement, P' + p"+p'" est le degré de la plus grande puissance de p, qui divise 1x2 X3...XP; l'+y'+l'" est le degré de la plus grande puissance de p, qui divise 1x2x3... Xf, et ainsi de suite ; donc (P' + P"+ P'") + (•r'+y'+T'")+-" est te degré de la plus grande puissance de p, qui divise le produit (1x2x3... xP) X (1x2x3... X-j) X (1x2x3... X ) X,..;

de plus, la relation a=ou>P+ 1 + S + ... donne successivement «' = OU>P' + y' + S'+...,a" =OU>P"4-ï"-|-î"+..., a!" = OU >P'"+'ï'"+^'"-t- ... , et , par suite,

«' + »" + = ou >(P' + P" + P"') + (-r' + y' + y")

donc la plus grande puissance de p , qui divise le produit 1 x2x3... x« est au moins égale à la plus grande puissance de p, qui divise le produit

(1x2x3.. .xp) X (1x2x3.. .XTf)x(lx2x3... xî)x...;