LIVRE II

donc le premier produit contient tous les facteurs premiers du second, donc il est divisible par le second.

PROPOSITION XXIII

Le produit (m + 1) x (m+2) x (m+3)...x(in + n) de n nombres entiers consécutifs est divisible par le produit 1 x2x3...xn des n premiers nombres entiers.

.Multipliant ces deux produits par 1 x2x3...x»i, ce qui n’altère pas le quotient de leur division , le premier devient

1x2x3... X)»x{m + l)x(m+2)x (w + 3)...x (»n + n), et le second (1x2x3... xm)x(1x2x3...'Xm);

or le dernier facteur t« + n du premier produit est égal à la somme des derniers facteurs m et n du second, donc le premier est divisible par le second (pr. 22).

PROPOSITION XXIV

Trouver combien il y a d’entiers premiers avec un nombre N et moindres que ce nombre.

SoitN==aN', a étant un facteur premier de N. Cherchons combien il y a dénombrés premiers avec a et moindres que N.

a étant premier, tout nombre non multiple de a est premier avec a ; donc le nombre N des termes de la suite 1,2, 3... N -se compose de x nombres premiers avec a et des N' termes de la suite a, 2a, 3a... N'a; donc N ou N'o = x + N', et , par suite,

2“ Soit N = ai N" a et i étant des facteurs premiers dif-

COMPLÉMENT D'AÉtTHUÉTIQDE.

férents. Cherchotis combien il y a de nombres premiers avec ab et moindres que N'.

Le nombre N"6 (a— 1) des termes de la suite 1, 2, 3... N, premiers avec a (1"), se compose de y termes premiers avec at) et des termes de la suite 6, 26, 36... N"aô, non divisibles par rt; or , a étant premier avec b, les termes de cette suite non divisibles para sont en même nombre N"(a— 1) que ceux de la suite 1, 2, 3... N"a, qui sont premiers avec a; donc N"6(a— 1) = y+N" (n— 1) et, par suite,

3” Soit N = abc N'", a, b, c étant des nombres pi'emiers différents. Cherchons combien il y a de nombres premiers avec abcel moindres que N.

Le nombre N"'c(a— 1)(6— 1) des termes de la suite 1, 2, 3... N, premiers avec ab (2°), se compose de z termes premiers avec abc et des termes de la suite c, 2c, 3c...N'"aôc, premiers avec ab ; or, c étant premier avec ab , les termes de cette suite premiers avec ab sont en même nombre N"'(a— 1)(6— 1) que ceux de la suite 1, 2, 3... N"'«6, premiers avec ab; donc

N'"c [o— 1)(6— 1) =s + N'" (a— 1) (6—1) cl, par suite, (a--l) (6-1) (c-1) =* (a-1) (6-1) (c-1),

et ainsi de suite.

4° Cela (Hant , supposons N décomposé en facteurs pi-cmiers plus grands que Tunité, de sorte qu’on ait, par exemple, N = a“6^c^* Tout nombre, premier avec N, est premier avec abc, et réciproquement, tout nombre premier avec a6e est premier avec N (ar. liv.2, pr. 19); donc le nombre des entiers premiers avec N et moindres que N est

(a— 1)(6— l)(e— 1) ou a“"'6^~'c'’f'''(a— 1)(6— l)(c— 1).

UVRB U.

PROPOSITION XXV

Lorsqu’on divise les b— 1 premiers multiples d’un nombre a par un nombre b premier avec a , on obtient pour restes les b— 1 premiers nombres entiers.

Désignant par ma l’un quelconque des 6—1 multiples de a, on aura m<6; or 6 est premier avec a, donc si 6 divisait le produit ma, il diviserait le facteur m , ce qui est impossible, puisqu'on a >n<6; de plus , si deux multiples différents ma et m'a donnaient des restes égaux lorsqu’on les divise par 6, la différence [m—m')a serait un multiple de 6 (ar.liv. l,pr. 21,cor.2) et, par conséquent, divisible par 6, ce qui est impossible, puisque [m—m']a est un des 6—1 premiers multiples de a; donc les 6—1 restes, qu’on obtient en divisant par 6 chacun des nombres a, 2a, 3a.. (6— l)a sont inégaux et différents de zéro; donc ces restes sont, dans un ordre quelconque, les 6—1 nombres 1, 2, 3...6— 1.

Remarqde I. Si l’on prenait ensuite pour dividendes les multiples successifs (6 + l)a, (6 + 2)o, (6 + 3)a...(2ô— l)a, on obtiendrait les restes 1,2, 3. ..6—1 dans le même ordre que précédemment ; car ces nouveaux dividendes se déduisent des dividendes primitifs en les augmentant du multiple ba du diviseur 6, ce qui n’altère le reste d’aucune division: il en serait de môme si l’on divisait par 6 chacun des multiples (26-t-l)a, (26-1-2)0, (26-l-3)o... (36— 1)a, et ainsi de suite, en continuant d’ajouter ba à chacun des nombres précédemment employés comme dividendes.

Remarqde 2. Supposons que parmi les multiples a, 2a, 3a... (6— l)a on ne prenne pour dividendes que ceux qui sont premiers avec 6, ou dans lesquels le multiplicateur de a est premier avec 6. Alors le nombre des dividendes est égal au nombre des entiers premiers avec 6 et moindres que 6; et ces entiers sont les restes des divisions, car si l’on obtenait un reste qui eût avec le diviseur 6 un facteur commun plus

56 COMPLÉMENT d’aRITHMÉTIQUE.

grand que l’unité, ce facteur diviserait aussi le dividende, ce qui est impossible, puisque tous les dividendes sont premiers avec b.

PROPOSITION XXVI

Lorsque les restes qu’on obtient, en divisant deuja puissances a“‘ et a”’+" d’un même nombre a par un nombre et premier avec a, sont égaux entre eux, le quotient a" de la plus grande puissance par la plus petite, divisé par h, donne un reste égal à l'unité.

F>es restes qu’on obtient, en divisant a“eta”>+» par b, étant égaux, la différence a”’+»— a"* ou a" (a*— 1) est divisible par 6 (ar. liv . 1 , pr. 21 , cor. 2) ; or ô est premier avec a et, par suite, avec a"; donc il divise a"— 1, donc le reste de la division de a“ par b est égal à l’unité.

PROPOSITION XXVII

Lorsqu’on divise les puissances successives a, a*, a*... d’un nombre a par un nombre b>1 et premier avec a, l'un au moins des restes est égal à l'unité.

Le nombre b, premier avec a, est premier avec une puissance quelconque de a; donc aucun des 6—1 restes n’est égal à 0; donc, s’ils sont tous différents, l’un d’eux est égal à l’unité, et si deux puissances a’" et a”*+'> donnent des restes égaux, la puissance a”, moindre que a*-' donnera un reste égal à l’unité (pr. 26).

Corollaire 1 . En supposant que a* soit la plus petite des puissances a, a*, a’... a*-' qui, divisée par b, donne le reste 1 , les » premiers restes r,, r, , r,... seront différents. Car si deux puissances a* et a*+* moindres que «*+' donnaient