LIVRE II

des restes égaux, la puissance a* moindre que o" donnerait le reste 1 (pr. 26), ce qui serait contre la supposition.

Corollaire 2. On a m étant un multiple de b

(cor. 1); donc a" xn ou a*+'=ma+a, fl"Xo* ou o"+* = ma* +a®, «"Xa’ ou a"+’=»ia’+o’, et ainsi de suite indéfiniment; or, ma, ma*, ma*.,, sont des multiples de b, donc (ar. liv. 1, pr. 21, cor. 1) les n premiers restes 1 , r, , r,. r,.... Cd-i correspondants aux puissances a”, a, a“, a**.. . a”—' se reproduisent périodiquement à partir de la plus petite puissance a”, autre que a®, qui donne un reste égal à l’unité , et les seules puissances de a, qui donnent le reste 1 , sont celtes dont le degré est un multiple de n.

Corollaire 3. 11 en résulte que pour trouver le reste de la division d’une puissance quelconque a“ dont le degré est plus grand que n , on pourra substituer à l'exposant ale reste de la division de a par ». Ainsi , par exemple, pour trouver le reste de la division de par 9 , on cherche la plus petite puissance A’ de k qui , divisée par 9, donne le reste 1, en écrivant 4*=16=9+7, 4’=9x4+28 = »n-f-l , m étant un multiple de 9, puis on cherche le reste 2 de la division de 86 par 3, et enfin le reste 7 de la division de 4* par 9.

PROPOSITION XXVIll.

a étant un nombre entier non divisible par un nombre premier p, la différence 1 est divisible par p.

Soient r,, r„ r^... rp\ les restes successifs qu’on obtient en divisant par p chacun des multiples a, 2a, 3a... (p— 1)«. Le nombre a est égal à un multiple de p, augmenté du reste r, de sa division par p; pareillement, 2a est égal à un multiple dep, augmenté de r,, 3a est égal à un multiple de p, augmenté der,, et ainsi de suite jusqu’à (p— l)a qui est égal à un multiple de p, augmenté de rp-K ; donc le produit ax2ax3ax...x(p— 1^1 ou a?"' xl x2x3... X (p— 1) est

COMPLÉMENT d’aBITHHÉTIQUE.

égal à un multiple de augmenté du produit r^r^r,...rp-\ qui est égal (pr.25) à 1x2x3.. .x(p—l), puisque p est premier avec a ; donc on a

ar"'Xl x2x3...x(p— 1) =wi + lx2x3...x(p— 1),

m étant un multiple de p. Retranchant de part et d'autre 1 X'2x3...x(p— 1), il vient

Ix2x3...x(p— l)x(a'’"'— 1) =m; doncp divise le produit 1x2x3. .. x[p— l)x(aP“'—l) ; or p ne divise aucun des facteurs 1, 2, 3... p— 1, donc il divise le dernier facteur ar '— 1.

Ce principe est connu sous le nom de Théorème de Fermât.

Corollaire, p étant un nombre premier el a un nombre entier quelconque, la différence SP — S est divisible par p. Car aP— a = ax(«»' 1), et si p ne divise pas le facteur»,

il divise l’autre facteur

Remarque. Soit , plus généralement , b un nombre premier avec a et r„ r„ r,... r» les restes qu’on obtient en divisant par b ceux des multiples «, 2a, 3a... (6— l)a qui sont premiers avec b. On prouvera, comme précédemment, que b divise le produit /•,r/j...r„(a«— 1); or b est premier avec chacun des restes r,, r„ r,... r« (pr.25, rem. 2) et, par suite, avec leur produit ; donc b divise a"— 1 ; donc a étant un nombre premier avec b, et n le nombre des entiers premiers avec b et inférieurs à h, la différence a"—! est divisible par b.

Lorsque b est égal à un nombre premier p, n =p— 1 et on retombe sur le théorème de Fermât.

PROPOSITION XXIX

Lorsque le dénominateur d’une fraction irréductible -- est un nombre premier qui ne divise pas 10, le nombre des chiffres de la période à laquelle conduit la réduction de — en décimales est uti diviseur de p— 1.