LIVRE

Soit 10" une puissaiice de 10, qui, divisée parp, donne le reste 1 (pr.27). Cette puissance étant un multiple de , augmenté d’une unité, le produit a X 10" est égal à un multiple de P, augmenté de a; donc les restes qu’on obtient en divisant a et axlO" par p sont égaux entre eux (ar. liv.l, pr. 21 , cor. 1) . Réciproquement , si les nombres a et a x 10" donnent des restes égaux, la différence ax(10*— 1) sera un multiple de p (ar. liv. 1 , pr. 21 , cor. 2) ; or p ne divise pas a, donc il divise 10"— 1 ou, autrement, 10" divisé par p donne le reste 1. Cela étant, supposons que axlO® soit le premier dividende qui divisé par p reproduit le reste de la première division : 10» sera la plus petite puissance de 10, autre que 10°, qui divisée par p donne le reste 1, et n le nombre des chiffres de la période; or p divise 10^"'— 1 (pr.28) ou, autrement, lOJ'"' divisé par p donne un reste égal à l’unité; donc n est un diviseur de p— 1 (pr.27, cor. 2).

Remarque 1. Soit, plus généralement, une fraction irréductible dont le dénominateur b est premier avec 10. On prouvera, comme précédemment, que 10» étant la plus petite puissance de 10, autre que 10°, qui divisée par b donne le reste 1 , le nombre des chiffres de la période est égal à n; or b divise 10*— 1, a étant le nombre des entiers premiers avec b et inférieurs à b (pr. 28, rem.) , donc n est un diviseur de a; donc lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible est premier avec 10, le nombre des chiffres de la période, à laquelle conduit la réduction de en décimales , est un diviseur du nombre des entiers premiers avec b et inférieurs à b.

Remarque 2. Le nombre des chiffres de la période étant égal au degré n de la plus petite puissance de 10, autre que 10°, qui divisée par 6 donne le reste 1, est indépendant du numérateur a premier avec b ; donc les périodes auxquelles conduit la réduction en décimales des fractions irréductibles, dont le dénominateur commun contient un ou plusieurs facteurs premiers autres que 2e< 5, o?it toutes le même nombre de chiffres,.

COMPLÉMENT D’aRITHMÉTIQUE.

PROPOSITION XXX

Pour qu’un nombre premier p divise la différence a’— b* des carrés de deux nombres entiers, a e< b, il faut et il suffit qu’il divise leur somme a + b ou leur différence a— b.

On a o^— 6*=(rt+6)x(a— 6) (Uv. 1, pr.9). Cela étant, si le nombre premier p divise il divisera au moins l’un

des facteurs a + b, a— b (ar.liv.2, pr. 18); et réciproquement, si p divise a+é ou a—b, il divisera leur produit a^—b^ (ar.liv.l, pr. ll,cor ).

PROPOSITION XXXI

p étant un nombre premier plus grand que l’unité, la somme 1 x2x3...x(p 1)+1 est divisible par p.

Ce principe se vériüe immédiatement, lorsque p=2. Supposons que p soit impair et considérons le produit

qui contient un nombre pair de facteurs. En divisant par p chacun des multiples a, 2a, 3a... (p— l)a d’un facteur a compris entre les facteurs extrêmes 1 et p— 1, on obtiendra un seul reste égal à l’unité (pr.25) ; mais , a étant compris entre 1 etp— 1, les multiples a et (p— l)a divisés par p donneront des restes a et p— o plus grands que l’unité ; pareillement, le carré a“ divisé par p donnera un reste plus grand que l’unité ; car si o* était égal à un multiple de p , augmenté d’une unité , a^— I serait divisible par p , ce qui est impossible (pr. 30), puisque la somme o-l-l et la différence a— 1 sont comprises entre 0 et p— 1; donc, a étant un des facteurs intermédiaires 2, 3, 4...p— 2, il existe