UVRE III

1“ Les m lettres a, b, c, d, e... k, l étant toutes les combinaisons de m lettres 1 à 1, si l’on écrit à la droite de chaque lettre successivement chacune des lettres suivantes, on aura toutes les combinaisons de 2 lettres ; car, étant donnée une combinaison quelconque be de 2 lettres, si l’on supprime à la droite la seconde lettre e , on obtiendra la lettre é à la droite de laquelle on a écrit successivement chacune des lettres suivantes, et, par conséquent, la lettre e. En écrivant, à la droite de chaque combinaison de 2 lettres, successivement chacune des lettres suivantes, on obtiendra de même toutes les combinaisons de 3 lettres, et ainsi de suite. On trouve de cette manière que les combinaisons des 4 lettres a, b, c, d, 2 à 2, sont ab, ac, ad, bc, bd, cd, et que les combinaisons de ces mêmes lettres, 3 à 3, sont abc, abd, acd, bcd.

2° Chaque combinaison contenant n lettres, le nombre total des lettres contenues dans les Cm,ii combinaisons est n Cm,n. Mais le nombre des combinaisons contenant la lettre a est égal au nombre des combinaisons des

m—\ autres lettres b,c,d... n— 1 à n — 1; donc la lettre a entre Cm— i,i>— i fois dans les combinaisons de m lettres n à n; il en est de même de chacune des autres lettres b,c,d...; donc le nombre total des lettres contenues dans les combinaisons de m lettres n à n est m Cm-i,tt-i , et on a

(1) wCm,n=IwCm— 1,«— I

Remplaçant m et n successivement par w— 1 et n — 1 ,»i— 2 et n — 2.,.,m — n + 2 et 2, et observant que Cm-«+i.i = w— w+1, on a

(2) (jl — 1) Cm— l,»— l = (wi — 1) Cm— S,n— 3

(3) (n — 2) Cm— 3,*— S=(wi — 2) Cm— 3, n— 3

(« — 1) 2Cm-n4-3,3 — (wî — B + 2) (.m » + I,I

(n) Cm-B+i.i=w— n + 1.

COUPLÉUENT U’aRITIIHÉTIQUE.

Faisant le produit de ces n égalités et supprimant les facteurs communs Cm-a.B-î ... , on a

lx2x3...xnxC,«,n=wi (»î— 1) (m— 2).., (»i— n + 1)

et, par suite ,

donc le nombre des combinaisons de in lettres n à n égal au nombre des arrangements de m lettres non divisé par le nombre des permutations de n lettres (pr.2etl).

Remarque 1. Lorsqu’on a n>YOU m— n<Y» etqu’ona obtenu toutes les combinaisons des m lettres m — n à m — n, on en déduit immédiatement les combinaisons n à n, en supprimant successivement les m—n lettres de chaque combinaison dans le produit des m lettres (déf.3, rem.).

Remarque 2. On peut aussi trouver le nombre Cm,« d’une manière plus simple, mais indirecte. Supposons formées toutes les combinaisons de m lettres n à n; pour en déduire les arrangements de ces m lettres » à n , il suffira de former toutes les permutations des n lettres de chaque combinaison ; d’où il résulte que le nombre Am,n des arrangements de m lettres n à n est égal au nombre Ctn,n des combinaisons de ces m lettres n à » multiplié par le nombre Pn des permutations de n lettres; d’où l’on déduit, comme précédemment,

Am,« 1) (m— 2),..(»i— n + 1)

U,»- - ix2x3X... Xn

Remarque 3. Le quotient Cm,» est, par sa nature, un nombre entier , ce qui résulte d’ailleurs de ce que le produit de n nombres entiers consécutifs est divisible par le produit des n premiers nombres entiers (liv.2,pr. 23).