LIVRE III

PROPOSITION V

Trouver toutes les combinaisons de ni lettres n à n et le nombre de ces combinaisons , en supposant que chaque Jettre puisse entrer plusieurs fois dans la même combinaison.

1® Les J» lettres a,b,c...k,l étant toutes les combinaisons de m lettres 1 à 1 , si l'on écrit à la droite de chaque lettre successivement cette même lettre et chacune des suivantes, on aura toutes les combinaisons de 2 lettres; car, étant donnée une combinaison quelconque be de 2 lettres , si l’on supprime à la droite la seconde lettre e, on obtiendra la lettre ê à la droite de laquelle on a écrit successivement chacune des lettres a,b,c...k,l et par conséquent la lettre e. En écrivant, à la droite de chaque combinaison de 2 lettres, successivement la dernière lettre de cette combinaison et chacune des lettres suivantes, on obtiendra de même toutes les combinaisons de m lettres 3 à 3, et ainsi de suite. On trouve de cette manière que les combinaisons des 4 lettres a, b, c, d 2 à 2 sont a*, ab, ac, ad, b^, bc, bd, c®, cd, (P, et que les combinaisons de ces mêmes lettres 3 à 3 sonë a*, a^c, a^d, ab^, abc, abd, ac*, acd, ad*, b*, b*c, b*d, bc*, bed, bd*, c*, c*d, cd*, d*.

2® Le nombre total des lettres contenues dans les Cm,n combinaisons de m lettres n à n est nCm,»; or chacune des m lettres y entre le même nombre de fois ; donc le nombre de fois que la lettre a entre dans ces combinaisons est^Cw,n. Cela étant, si l'on supprime une fois la lettre a dans toutes les combinaisons qui contiennent cette lettre , on aura toutes les combinaisons des m lettres n— 1 i\ »— 1 ; combinaisons dans lesquelles la lettre a entre un nombre de fois

COMPLÉMENT D’ARlTHHÉTigUE.

égal à-^Cw,») ; or on a supprimé Ci»,n-t fois la lettre o, donc

— -Ci»,ii — Cm,R— I H — ~ Cm,n— I !

d’où l’on déduit

(1) nC«i,«=(»i+n— 1)

Remplaçant n successivement par n— 1, »— 2, »— 3...2 et observant que C«,i=wï, on a

(2) (n — l)Cm,n— t=(>W+W — 2) Cl», R— s

(3) [n — 2)Ci»,«2=(wt+Ji— 3) Cm,»— 3

(b — 1) 2 Cm, 3 — (w + 1) Cm,l

(n) Crn,\=m .

Multipliant entre elles ces n égalités, et supprimant de part et d’autre les facteurs Cm,»-i , Cm,» 3 , Cm,»- 3 ..., Cm,i, il vient

lx2x3x...XnCm,»=>«(»i + 1) (m4-2)...(m+n— 1) et, par suite,

Ix2x3x...xn ’

donc le nombre des combinaisons de m lettres n à n , sous la condition que chaque lettre puisse entrer plusieurs fois dans la même combinaison , est égal au nombre des combinaisons ordinaires {\tr. k) de m+n- 1 lettres n à n.