BINOME DE NEWTON

DÉFINITION

4. Le coefficient d’une quantité est un nombre placé à la gauche de cette quantité et qui lui sert de multiplicateur. Ainsi, dans les monomes— 3o et | a, — 3 et | sont les coefficients de a.

Remarque. On supprime le coefficient lorsqu’il est égal à l’unité.

COMPLÉMENT d’aUITHUiItIQUE.

PROPOSITION VII

Effectuer le produit (x + a) (x + b) (x + c)... (x+k) (x+1) de m binômes qui ont le même premier terme x et dont les seconds termes a, b, c... k, i sont tous différents.

Le terme du produit demandé , qui contient x avec le plus grand exposant, provient évidemment de la multiplication des m premiers termes égaux à x ; donc en écrivant les termes de ce produit suivant l’ordre décroissant des exposants de x, il aura la forme

xm + A a:’"-* + + A,a:™-3 + ... A„ . a: + A„

désignant la somme des multiplicateurs de a:™-', A^ celle des multiplicateurs de a;™-*, et ainsi de suite. Or, en faisant abstraction du premier facteur a: + a, le premier terme du produit des »! - 1 autres facteurs est x”>-*; donc le produit demande contiendra le terme ax"'-' ; on voit de même qu’il contiendra les termes bx"-', ex""-*... /x”^' ; donc

Aj=a+6-l-c-t-... + & + /.

Faisant abstraction des deux premiers facteurs x + a, X + b, le produit des m-2 autres aura pour premier terme x™-*, et en multipliant x”"-* par le produit ab des seconds termes des binômes x + a, x + 6, on obtiendra le terme abx”'-^ du produit demandé. On voit de môme que ce produit contiendra les termes aex®»-*, odx™-®... alx”^^, bex”^^, bdx”'-*... 6/x™-®... klx”^^, donc on aura

A^ ~ab + flc + ... + ttl + bc + 6d+6/+... +4/.

En raisonnant de la même manière, on voit que Aj = abc + abd + ... + abi + ... + ikl,

et ainsi de suite ; donc en débnitive le produit demandé se