LIVRE III

compose de m + 1 termes dont le premier est x™ ; t exposant de X décroît d'une unité en passant d'un terme au suivant, depuis le premier terme où il est égal à m jusqu'au dernier où il est nul; le multiplicateur de x*"** est égal à la somme des seconds termes des binômes; celui de x“** est égal à la somme des combinaisons ’i à 1 des m seconds termes; celui de x'^-3 est égal à la somme des combinaisons 3 à 3 dei m seconds termes, et ainsi de suite jusqu’au dernier terme qui est égal au produit de tous les seconds termes.

En appliquant cette règle aux cas particuliers où m = 2, m = 3, m = k, et écrivant à la gauche de chaque puissance de X, dans une môme colonne verticale, tous les multiplicateurs de cette puissance, on a

(j;+o) {x+b)=x^+a x+ab,

(x + a) (x + b)(x + c)=x^ + a x* + ab x + abc,

+ b +ac

+ c +bc

x^-\-ab x'* + ubc'^x + abcd.

+ ac + abd

+ad ->,-acd ■i-bc +bcd + bd +cd

PHOPOSITION Vlll.

Effectuer la puissance (T un binôme x + a.

Si, dans l’égalité (pr. 7}

(x + «)(-* + ^) (j;+c)(x+d)=x*+rt

COMPLÉMENT d’ ARITHMÉTIQUE.

Aj a;"*-» + ... + , x + A^, on suppose que chacun des

seconds termes b, c,d..,k,l soit égal à a, on aura

(a:+o)(a:+ô)(a!+c)... [x+k] (x+l) = (a? + o)“ A, = a + O + O + ... =C«,ia =ma

Ajj = oa+o* + o*+... = C^

Am = aaa . . . = Cm,» a" = a”

Cm,i, Cm,3, Cm.3 ... étant les nombres des combinaisons de m lettres làl,2à2, 3à3, etc. (pr. 4) ; d’où l’on déduit

(aj+a)" = a:™ + maX^-' +

ni (m-1) 1x2

ar"-* + ... + a™;

donc la m^“® puissance d'un binôme x + a se compose de m + 1 termes dont le premier est x" ; V exposant de x décroit d'une unité en passant d'un terme au suivant, depuis le premier terme où il est égal à m jusqu’au dernier où il est nul, tandis que celui de a augmente dCune unité depuis le premier terme où il est nul jusqu'au dernier terme où il est égal à m ; /a coefficient du second terme est égal au nombre des combinaisons de m lettres 1 à 1 ; celui du troisième terme, au nombre des combinaisons de m lettres 2 à 2 , en géné-

ral, celui du nii"'® terme, au nombre des combinaisons de m lettres n-1 à n-1 ; tf oà F on conclut celte règle générale: pour passer (Vun terme au suivant, on augmente Fexposant de a cFune unité, on diminue celui de x éFune unité, on multiplie le coefficient du terme proposé par {exposant de x dans ce