LIVRE III

termt et on divise le produit par [exposant de a dans le terme qu'on veut obtenir ou par le nombre des termes qui le précèdent. On trouve de cette manière

(a: + a)s = a;® + 2 aa: + o*

(a?+a)3= a:’ + 3ax^ + 3o*a: + a®

(a; + a)* = a:* + 4 ox® + 6a*x* + 4a!>x + a*

(x+a)s = a^ + 5ax* + 10a*a^ + lOa^x* + 5 o*x + a'*.

Corollaire 1. En désignant par T +i le + terme de la m^ puissance de x+ a, on a

Cette valeur de Tn 4 1 se nomme le terme général de la puissance de x+a, parce qu’on en déduit tous les termes de cette puis.«ance à partir du second, en y remplaçant n successivement par les nombres 1 , 2, 3, 4... Ainsi, pour obtenir le septième terme de (x + a)*», on fait n = 6 et m = 10 , ce qui donne

1 0x9x8x7x 6 Ix2x3x4x5x6

Corollaire 2. Les termes de (x+a)®» également distants des extrêmes ont les mêmes coefficients. Car le coefficient qui en a n avant lui, étant égal au nombre des combinaisons de m lettres n à h, celui qui en a n après lui ou m — n avant lui, est égal au nombre des combinaisons de m lettres m—n bm—n; et l’on a vu (déf. 3 , rem.) que ces deux nombres de combinaisons sont égaux entre eux.

Corollaire 3. Pour déduire la m^ puissance de x— a de celle de x+a, il suffit de changer a en — a, ce qui revient à donner le signe moins aux termes de rang pair, lesquels contiennent la lettre a élevée à des puissances d’un degré impair ; donc on aura

COMPLÉMENT d’aRITHMÉTIQUE.

(x — a)“ = £c»> — max<”-* H ; — o* x"-*

Corollaire Les paissances (x + a)" et [x — o)»* deviennent 2® et 0 pour x = 1 et o = 1 ; donc 1° la somme des coefficients de la m^““ puissance de \+ a est égale ô 2*; 2° la somme des coefficients des termes de rang pair, dans la iQène puissance de x -f a, est égale à celle des coefficients des termes de rang impair.

PROPOSITION IX

Déterminer le plus grand coefficient de la m*“* puissance du binôme x -t- a.

En désignant par et le n*®® et le (»+l]‘"“ coefficient , on a (pr. 8)

Cn+i = CnX-^ — ou C/i+r.Cn::(ffî— « + !):«; n

donc, pour comparer Cn+i à Cn, il suffit de comparer »i— n + 1 à n ou ?n + l à 2n. Cela étant, on distingue deux cas, suivant que m est pair ou impair.

1" Soit »i = 2p ou »n + 1 = 2p + 1. Pour qu’on ait m + 1 > 2ra ou 2p + 1 >2n, il faut et il suffit que n soit égal ou inférieur à p; donc les coefficients 1, Cs, Cs... vont en augmentant jusqu’à Cp.f t, et en diminuant à partir de Cp+i; donc le coefficient Cp 4 ^i du terme du milieu est un maximum.

2® Soit »n = 2p + l ou »«4-l = 2p+2. Pour qu’on ait »î-1-1>27i, ou 2p+2>2n, ou p-|-l>n, il faut et il suffit que n soit égal ou inférieur à p ; donc les coefficients 1, Cs, C3... vont en augmentant jusqu’à Cp+i = Gp+s, et en dé-