LIVRE III

cruissont à partir de Cp+s ; donc les coefficients Cp+i, Cp+s des deux termes consécutifs, également distants des extrêmes , sont des maximum.

PROPOSITION X

Extraire la racine m^"** d un nombre entier à moins dune unité.

En supposant que a désigne les dizaines d’un nombre entier et b ses unités, la m^ puissance de ce nombre ou du binôme a+bse composera de la m^ puissance des dizaines, de m fois la puissance des dizaines multipliée

par les unités, de fois la (m— a)*”"® puissance des

dizaines multipliée par le carré des unités , et ainsi de suite jusqu'à la m*»™ puissance des unités (pr.8). Cela étant, on prouve comme en arithmétique (liv.4, pr. 13 et 14) que la racine de la plus grande m®"» puissance entière contenue dans le nombre total des unités du (m + 1)®®® ordre d'un nombre est égale au nombre total des dizaines de la racine m*^ du nombre proposé, à moins d’une unité. Au moyen de ces deux principes, et en raisonnant comme pour l’extraction de la racine carrée ou cubique d’un nombre entier à moins d’une unité (liv.4, pr. 15 et 16), on est conduit à cette règle générale, qui suppose connues les puissances des nombres entiers 1 , 2, 3... 9 : pour extraire ta racine m^* dun nombre entier à moins dune unité, on sépare ce nombre en tranches de m chiffres à partir de la droite, sauf à ne laisser que 1, 2, 3, m— 1 chiffres à la première tranche à gauche; on extrait la racine m^*"* de laplus grande puissance entière contenue dgns cette tranche, ce qui détermine le premier chiffre à gauche de la racine demandée ; on soustrait la m^« puissance de ce chiffre de la première tranche, ce qui donne un reste à la droite duquel on

84 COMPLÉMENT n'ARnHMÉTIQCE.

écrit la deuxième tranche; on sépare m — 1 chiffres sur la droite du nombre qui en résulte, et on divise la partie à gauche par m fois la (m — puissance du chiffre obtenu à la racine; la partie entière de ce quotient détermine le second chiffre de la racine demandée ou un nombre trop grand. Pour le vérifier, on forme les m dernières parties de la puissance du nombre composé des deux premiers chiffres de la racine, et on voit si leur somme n'excède pas le nombre formé en écrivant la deuxième tranche à la droite du reste précédemment obtenu ; dans le cas où cette somme est plus grande que ce nombre, on diminue le second chiffre de la racine d’une unité, puis on vérifie le chiffre qui en résulte comme le précédent , et ainsi de suite, jusqu' à ce qu’on ait obtenu une somme qui n’excède pas le nombre auquel on la compare; alors on soustrait celte somme de ce nombre,, ce qui donne un reste à la droite duquel on écrit la troisième tranche; on sépare m — 1 chiffres sur la droite du nombre qui en résulte, et on divise la partie à gauche par m fois la (m— 1)^® pMWitince du nombre formé des deux premiers chiffres de la racine; la partie entière de ce quotient donne le troisième chiffre de la racine ou un nombre trop grand; on le vérifie comme le second chiffre, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu’on ait employé la dernière tranche du nombre proposé.

Remarque li Le reste r, qu’on obtient en extrayant la racine a d’un nombre entier A à moins d’une unité, ne peut excéder ma ”'-' + — +...+»««. Car, a étant la racine de la plus grande puissance entière contenue dans A, on a a™= ou <A<(a+l)'" et, par suite, A— o™<[a+l)'"— a*” ou r<,ma”'-'+ a”*-* + etc.,

+ mo+l(pr. 8).

Remarque 2. Lorsqu’on sait extraire la racine d’un nombre entier à moins d’une unité, on obtient celle d’un nombre entier, décimal ou fractionnaire à moins d’un nombre donné, en opérant comme dans l’extraction de la racine carrée ou cubique (ar. liv. h, pr. 23, 2i, 25}.