LIVRE III

PROPOSITION XI

Trouver la somme S„ des puissances, d’un même degré m, de plusieurs nombres a, b, c... k, 1 en progression arithmétique.

Désignant par r la raison de la progression, on a les relations

d’où l'on déduit (pr. 8]

ftm+irrio'n+t-f- — T — ra”«-|-...-| — r”'a-l-r™+*,

, , , , . ffi + 1 , »j -f- 1

c»i-Fi = Jm-f-i -I ri»*" -1- ... H

/m-H = A:'n+'-l- rA^-F.-.-t- — ; r”>A-fr™+<.

On a de même

(/-l-r j — rt'" -1-...-I ^

Ajoutant ces égalités, et supprimant les termes 6™+', c“+’... ?"+•, communs aux deux membres de l’égalité résultante, il vient

(/+r)™+i = a”>+’ -1--^^ rS,„ + ... -h + r»”-HSo, et, par suite,

" (mi 1) r m-H"

Au moyen de cette égalité, on calculera suci'essivement les sommes S^, S^, ... en partant de Soqui est égale

au nombre des termes de la progression (liv. l,déf.l). CoHOLLAiRE 1. Pour appliquer la formule précédente au

8C OOMPLÉUENT D'aRITHMÉTIQDB.

cas particulier des termes de la progression arithmétique f 1 .2.3... n, il suffit d’y faire a = l, r = 1, f = n, ce qui donne

— Sm— 4 — ... — S .

C0R01.1.AIRE 2. En faisant »i = 2 (cor. 1), il vient

C »M» + 1) (2ra + l)

PROPOSITION XII

P étant un nombre premier plus grand que 2 et in un nombre entier compris entre 0 et p— 1 , la somme des puissances, du degré m, des nombres 1, 2, 3... p— 1 est divisible par p.

En remplaçant n par p — l dans l’égalité précédente (pr.ll, cor.l], on a

" iw + 1 2 2x3 ■" *'

Multipliant ces deux nombres égaux par 1x2x3... x»n{m + l), il vient

1 X 2 X 3 ... X >n (m + 1) = 1 X 2 X 3 ... mplp”— I)

A 4 , A 2 ... Ara i étant des nombres entiers. On voit par là que, si l’on suppose chacune des sommes S 4 , Sj...S»i 4 divisible par p, il en sera de môme du produitlx2x3... «(jn + l)S»i; mais, par hypothèse, on a»i<p — 1 ou jn + 1 < p; donc le nombre premier p ne divise aucun des facteurs du produit 1x2x3... m (ot + 1); donc il divise Sm. D’ailleurs, puisqu’on suppose p>2, la somme Si ou