LIVRE ni

est divisible parp; donc, en vertu de ce qui précède, Sî est aussi divisible par p; Si et Sa étant divisibles par' P, il en est de même de S3, et ainsi de suite jusqu’à Sp s inclusivement.

PROPOSITION XIII

Former une table qui contienne les coefficients des puissances successives du binôme x + a.

La puissance de étant

a:™ + + k^a^ x”'-^ + etc.,

si l’on multiplie cette puissance par x+a, on aura (x + a)’" + «=x“ + <+A^ ax™+AJaSx"'-i +Aj a3x'»-2+etc.

+ 1 +aJ +Aj

On voit que le coefficient du n^rae terme, dans la (m + l<™«) puissance de x + a, est égal au coefficient du n*“'® terme, dans la mi^™ puissance rfe x + a, augmenté du coefficient du (n— l)tme terme de cette puissance. Cela étant, considérons le tableau suivant :

dans lequel le terme 1 de la première colonne verlicale est égal au coefficient de (x + a)“; les deux termes 1, 1 de la deuxième colonne sont les coefficients de (x+aj‘; les trois . termes 1, 2, 1 de la troisième colonne sont les coefficients de (x+a)2 et, en général, les w + 1 termes de la (ot + 1)®“® colonne verticale sont les coefficients de (x+a)'". Pour former celte table, on écrit le terme \ de la première colonne verlicale, puis les termes successifs de chaque colonne verti-

COMPLÉMENT d’aRITHMÉTIQOE.

cale, en ajoutant à chacun des termes de la colonne précédente celui qui le précède immédiatement dans cette colonne. Ainsi, par exemple , les termes de la quatrième colonne verticale sont 1+0 ou 1, 2+1 ou 3, 1+2 ou 3, 0 + 1 ou 1.

On donne à cette table le nom de triangle arithmétique de Pascal.

Corollaire. Le terme d'une colonne horizontale, à partir de la seconde, est la somme desn premiers termes de la colonne précédente. Car, en considérant, par exemple, le quatrième terme 10 de la troisième colonne horizontale , on a 10 = 6 + 4, 6 = 3+3, 3 = 1 +2 et, par suite, 10 = 4 +3+2+1.

PROPOSITION XIV

Trouver le nombre des boulets contenus dans une pile triangulaire.

La pile triangulaire a la forme d’un tétraèdre régulier. Elle se compose d'un nombre de tranches horizontales égal au nombre n des boulets contenus dans l’un de ses côtés; chaque tranche a la fome d'un triangle équilatéral, en exceptant la première qui contient un seul boulet ; la seconde en contient 1+2; la troisième, 1+2 + 3, et ainsi de suite jusqu'à la qui en contient l + 2+3 + ... + w. Ces nombres étant les termes de la troisième colonne horizontale du triangle arithmétique (pr. 13), leur somme'est égale au terme de la quatrième colonne horizontale (pr. 13, cor.) ou au quatrième terme de la (n + 3)^“« colonne verticale; or ce terme est le quatrième coefficient de (x+a)»+*; donc il est égal au nombre des combinaisons de ra + 2 lettres 3 à 3 (pr. 8) ; donc le nombre des boulets contenus dans la pile triangulaire est