UVRE

1° En tirant une seule boule de l’urne, on peut amener indifTéremment une quelconque des 5 boules qu’elle contient ; donc 5 est le nombre des cas possibles ; mais on ne peut amener une boule blanche qu’en prenant l’une ou l’autre des 2 boules blanches contenues dans l’urne ; donc 2 est le nombre des cas favorables à la sortie d’une blanche et, par conséquent, la probabilité qu’on amènera une blanche est 5 {déf. 6 ).

2° On voit de même que | est la probabilité qu’on amènera une boule noire. Cela étant, le joueur qui parie pour la sortie d’une blanche a moins de chance de gagner que celui qui parie pour la sortie d’une noire ; donc l’enjeu x du premier doit être moindre que l’enjeu y du second d’une quantité telle que, après avoir joué un certain nombre de parties dans lesquelles le hasard n’aura favorisé aucun des joueurs, il y ait pour chacun d'eux égalité entre la somme des gains et celle des pertes. Supposons, par exemple, qu’en jouant 5 parties de suite, les 5 cas possibles se soient produits dans un ordre quelconque, c’est-à-dire qu’on ait tiré 2 fois une boule blanche et 3 fois une boule noire. Le premier joueur aura gagné deux fois l’enjeu du second ou 2y et perdu 3 fois son propre enjeu ou 3 j; ; donc pour que, en définitive, il n'ait ni gagné ni perdu, il faudra qu’on ait2y = 3x ou a;:y::2:3 ou enfin x :y donc let enjeux des joueurs doivent être en raison directe des probabilités qu’ils ont de gagner la partie ou, autrement, l’en-» jeu de chaque joueur doit être égal à son espérance mathématique (déf. 7). Ainsi, dans l'exemple proposé, le premier joueur devra parier 2 contre 3, ou a x | contre a x qu’on amènera une blanche, a désignant la somme des enjeux.

Remarque. En général, b étant le nombre des boules blanches et n celui des boules noires contenues dans l’ume, la probabilité qu’en tirant une seule boule on amènera une blanche est et la probabilité contraire, ou celle d’amener une noire, est Lorsque « = 0, 4 ^ 7=1 et —O;

92 s COMPLÉMENT D’aRITHMÉTIQUE.

alors l’arne ne contenant que des boules blanches, on est certain d’amener une boule blanche, tandis qu’il est impossible de tirer une boule noire ; on a d’ailleurs, dans tous les cas, ~ 1 ^ probabilité mathématique

d’un événement certain est l’unité; celle d’un événement impossible est nulle ; celle d’un événement, qui n’est ni certain ni impossible, est comprise entre zéro et Funité, et la somme des probabilités de deux événements contraires, dont l’un doit arriver nécessairement, est égale à Lorsque

b = n, et alors il n’y a pas plus de raison de

croire à la sortie d’une blanche qu’à celle d’une noire.

PROPOSITION XVIII

La prohabilité d'un événement composé de plusieurs événements simples est égale au produit des probabilités partielles de tous les événements simples.

On a, par exemple, deux urnes différentes; la première contient 2 boules blanches et 3 boules noires; la seconde, 6 boules blanches et 7 boules noires ; on tire une boule de chaque Urne, et on demande la probabilité qu’elles seront toutes deux blanches.

Chacune des 5 boules de la première urne pouvant sortir avec chacune des 13 boules de la seconde, le nombre des cas possibles est 5 x 13 ; chacune des 2 boules blanches de la première urne pouvant sortir avec chacune des 6 boules blanches de la seconde , le nombre des cas favorables à la sortie de deux blanches est 2 x 6 ; donc la probabilité qu’on amènera deux blanches est ou | x c’est-à-dire le produit de la probabilité qu’une blanche sortira de la première urne par celle qu’une blanche sortira de la -seconde (pr.l7).

Corollaire. Lorsqu’on a n urnes différentes contenant chacune une houle blanche et une boule noire et qu’on tire