LIVRE III

une boule de chaque urne ou, ce qui revient au même, lorsqu’on tire n fois de suite une boule d’une seule urne, en remettant chaque boule dans l’urne après l’avoir tirée , la probabilité qu’on amènera toutes les boules blanches des n urnes, ou n fois de suite la boule blanche de l'une des urnes, est j... ou (j)*; donc la probabilité

qu’une personne gagnera n parties de suite à un jeu de hasard où la chance de gagner et celle de perdre sont les mêmes à chaque partie , est égale à la fraction j élevée à une puissance dont le degré est le nombre des parties.

PROPOSITION XIX

La probabilité d’un événement qui peut avoir lieu de plusieurs manières distinctes est égale à la somme de ses probabilités relatives aux diverses manières dont il peut arriver.

On a, par exemple, trois urnes différentes ; la 1" contient 13 boules, ^ blanches et 9 noires ; la 2° 13 boules, 5 blanches et 8 noires; la 3' 13 boules, 7 blanches et 6 noires; on porte au hasard la main dans l’une quelconque des trois urnes pour en tirer une boule, et on demande la probabilité que cette boule sera blanche.

La main pouvant être portée indifféremment dans l’une quelconque des trois urnes, la probabilité qu’on la portera dans la 1” est | ; mais la probabilité qu’une boule , tirée de la l«î urne, sera blanche est (pr.l7) ; donc la probabilité définitive qu’on tirera une boule blanche de la 1” urne est ^X^ (pr. 18); on trouvera de même jX-^ et iX pour les probabilités qu’on tirera une boule blanche de la 2' urne et de la 3'. Cela étant, si l’on réunit les 13x3 boules que contiennent les trois urnes en une seule et même urne, la probabilité de tirer une boule blanche de leur en-

94 coupLÉUE^T d’arithhétiqde.

semble n’aura pas changé ; car on peut concevoir les 13x3 boules, contenues dans une seule urne, séparées en trois groupes, dont chacun se compose des 18 boules provenant de l’une des urnes primitives, de sorte que la chance de porter la main sur l’un des trois groupes sera la même que lorsqu’ils étaient placés dans des urnes différentes ; mais l’urne totale contient 13x3 boules dont (4 +5+7) blanches, donc la probabilité d'en extraire une boule blanche est ■7^ c’est-à-dire la somme des

probabilités qu’on avait d’extraire une boule blanche de la 1" urne, de la 2* et de la 3‘ en portant au hasard la main dans l’une de ces urnes.

Remarque. Cette démonstration suppose que toutes les urnes contiennent le même nombre de boules : lorsqu’il en est autrement, on peut réduire au même dénominateur les fractions qui expriment les probabilités d’extraire une boule blanche de chaque urne considérée isolément, et supposer que l’une quelconque des urnes contient un nombre total de boules égal au dénominateur commun et un nombre de boules blanches égal au numérateur de la nouvelle fraction relative à cette urne. De cette manière, on n’altère pas la probabilité d’extraire mie boule blanche de l’une quelconque des urnes ou de leur ensemble; ainsi, par exemple, la probabilité | d’extraire une boule blanche, d’une urne qui contient 2 boules blanches et 3 boules noires, est égale à la probabilité ^ d’extraire une boule blanche d’une urne qui contiendrait 8 boules blanches et 12 boules noires.

PROPOSITION XX

Deux joueurs veulent interrompre une partie au moment oh le premier a encore un point à faire et le second deux pour la gagner; on suppose que, à chai/ue coup , ils ont la même chance de faire un point, et on demande comment ils doivent se partager la somme des enjeux.

LITBE III.

On voit d’abord que si ia partie continue, elle se terminera après un nombre de coups au plus égal à 2. Cela étant, admettons que les joueurs conviennent de jouer encore deux coups, ce qui ne change rien à leurs chances de gagner la partie : le premier peut indifféremment gagner le 1" coup et perdre le 2', perdre le 1" et gagner le 2”, gagner les deux coups ou les perdre ; dans les trois premiers cas, il gagne la partie, et la perd seulement dans le quatrième ; donc la probabilité que le premier joueur gagnera la partie est la probabilité contraire est j, et la somme des enjeux doit être partagée entre le premier et le second en deux parties qui soient entre elles dans le rapport de 3 à 1 (pr. 17). Ainsi, en supposant que cette somme soit V, le premier joueur prendra 3' et le second 1'.

En général , lorsque plusieurs joueurs conviennent d’interrompre une partie, la somme des enjeux doit être partagée de manière que chacun d’eux prenne une somme égaie à son espérance mathématique (déf.7).

PROPOSITION XXI

Une urne contient les 90 numéros 1 , 2 , 3 ... 90 ; on en tire cinq au hasard; trouver la probabilité que les numéros 30 et 47 seront compris datis les numéros sortants.

En supposant qu’on tire successivement chacun des 90 numéros contenus dans l’urne, la probabilité demandée sera la même que celle de la sortie des numéros 30 et 47 dans les 5 premiers qu’on aura tirés. Or, le nombre des manières dont peuvent sortir les numéros 30 et 47 est égal au nombre 90x2 des arrangements de 90 lettres 2 à 2, et le nombre des manières dont ils peuvent sortir dans les 5 premiers est égal au nombre 5x4 des arrangements de 5 lettres 2 à 2 ; donc le nombre des cas favorables est 5x4 ;

96 COMPLÉMENT d'aRITUMÉTIQUE.

celui des cas possibles, 90x89; et la probabilité demandée — ou

En général, soit m le nombre des numéros contenus dans l’urne, n celui des numéros qu’on tire, et p la probabilité que n' numéros désignés d’avance seront compris dans les n numéros sortants ; on aura

Remarque. En faisant m = 90, n = 5, et successivement n'=l, 2, 3, 4, 5, on trouve les probabilités qu’on avait de gagner à l’ancienne loterie de France, en jouant \ extrait simple, \'ambe simple, le terne, le quaterne et le quine.

Lorsque n'=l, on a /? = ^= 1 ^; donc la loterie devait payer au joueur qui gagnait un extrait simple 18 fois sa mise ; elle ne donnait que 15 fois la mise.

Lorsque »'=2, on a = ^ = donc celui qui gagnait un ambe simple aurait dû toucher 400', 5 pour une mise égale à 1'; il ne touchait que 270'.

Lorsque n'= 3, on a p= 7777 -^; donc celui qui gagnait un terne aurait dû toucher 11748' pour la mise 1'; il ne touchait que 5500'.

Lorsque n'=4, on donc celui qui gagnait

un quaterne aurait dû toucher 511038' pour la mise 1'; il ne touchait que 75000'.

Lorsque rt'=5, on a donc celui qui gagnait

un quine aurait dû toucher 43949268' pour la mise 1 '; il ne touchait que lüOOOOO'.

L’extrait déterminé était un numéro sortant dans un ordre déterminé, le 3' par exemple. Chacun des 90 numéros pouvant sortir le 3% la probabilité qu’on gagnerait était ^ et la loterie aurait dû payer au gagnant 90 fois sa mise ; elle ne la payait que 70 fois.

Uambe déterminé consistait à désigner d’avance deux