LIVRE III

numéros o et 6 qui devaient sortir dans un ordre déterminé; par exemple, a le S"" et b le 5'. Or la probabilité que a sortirait le 3^ était et en admettant que a fût sorti le 3«, chacun des 89 autres numéros pouvait sortir le 5'; donc la probabilité que b sortirait le 5® était donc la probabilité que a et 6 sortiraient dans l’ordre indiqué était (pr. 18) ou et la loterie aurait dû payer au gagnant 8010' pour la mise 1'; elle ne donnait que 5100'.

PROPOSITION XXII

Quelle est la probabilité d’ amenai' m moins une fois le numéro 6 avec un dé, en a épreuves successives?

La probabilité, à chaque épreuve, qu’on amènera le numéro 6 étant celle de ne pas l'amener sera 1 — i ou f ; donc la probabilité de ne pas amener ce numéro en n épreuves successives est (pr. 18) | x|x| ...ou(f)" ; donc la probabilité de l’événement contraire on celle de l’amener au moins une fois sera 1 — (f)*-

Remarque. Pour que la probabilité d’amener le numéro 6 fût égale à celle de ne pas l’amener, il faudrait pouvoir jouer un nombre n de coups tel qu’on eût 1 — (|)" = i ou = i ou enfin (^)" = 2. Or on a (f)® <2 donc il

y aura avantage à parier que le numéro 6 n’arrivera pas en 3 coups et qu’on l’amènera au moins une fois en k coups.

PROPOSITION XXIII

Quelle est la probabilité que deux nombres A et B, formés chacun de n chiffres pris au hasard, seront tels que l’on puisse soustraire le second du premier sans être obligé d’augmenter aucun chiffre supérieur?

98 COMPLÉMENT d'aHITHMÉTIQUE.

Soient a et 6 deux chiffres correspondants de A et B. Les seules combinaisons favorables sont :

dont le nombre est (1+2+3+ ... +10) ou 55. De plus, chacun des chiffres o et 6 étant susceptible des 10 valeurs 0, 1, 2, 3 ... 9 , le nombre des cas possibles est 10 x 10 ou 100 ; donc la probabilité que 6 n’excède pas o est ou ^ ; donc enfin la probabilité demandée est (pr. 18)|lx^ X H ... ou

PROPOSITION XXIV

Une ume contient n boules dont l’une au moins est blanche; trouver la probabilité quen tirant au hasard une seule boule 'de l’urne, cette boule sera blanche ?

L’urne pouvant contenir indifféremment 1 boule blanche ctn— 1 noires, 2 blanches et n— 2 noires, Sblanches et n— 3 noires, etc., jusqu’à n blanches, on peut supposer qu’on a n urnes distinctes dont la première contient 1 boule blanche et n— 1 noires, la deuxième 2 blanches et n— 2 noires, etc., et chercher la probabilité qu'on aura d’amener une boule blanche, en portant au hasard la main dans l’une quelconque de ces urnes. Or la probabilité de porter la main dans la première est et celle d’en extraire une blanche est ; donc la probabilité d’extraire une boule blanche de la première urne est ; on trouve de môme que les probabili-

tés d’extraire uue blanche des urnes suivantes sont respectivement -rX-^, -^x-r-'-vX-r; donc en définitive la

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