etc

n(»-l) «(w-1)(n-2](w-3) «(»t-l)(ra-2)(«-3)(?t-4)(ra-5) 1x2^ Ix2x3x4- Ix2x3x4x5x6

On voit par là que 1 + 1 + P est la somme des coefficients de (a;+rt)" et que 1— I + P est celle des coefficients de (x—a)”‘ (pr. 8) ; donc

1+H-P=2" et 1— I+P=o (pr. 8, cor. 4) ou ...i-.i.i.i I + P=2" — leti— P=l;

d’où l’on déduit I=2“-< et P=2"-* —1. Or le nombre des cas possibles est I + P ou 2" — 1 ; donc

PROPOSITION XXVII

Une urne contient n houles, blanches et noires, dans un rapport inconnu; une première houle tirée de cette urne est blanche ; quelle est la probabilité qu’une seconde boule, tirée de la même urne, sera blanche ?

L’urne peut contenir avant le premier tirage 1 boule blanche et n— 1 noires, 2 blanches et n— 2 noires, 3 blanches et n— 3 noires, etc., jusqu’à n blanches. Le nombre des cas favorables à la sortie de 2 blanches est nul dans la première hypothèse, 2x1 dans la deuxième, 3x2 dans la troisième, etc., n(n— 1) dans la n*!""®; or 2xl=l*+l, 3x2 = 2*+2... n(n— 1) = (n— l)*+n— 1 ; donc le nombre total des cas favorables à la sortie de deux blanches est

- '- 1x2x3 — ^'(pr.ll.eor.S);

LirnE m. 4ÔI

On voit de même que le nombre des cas possibles est, en supposant la sortie d'une blanche an premier tirage,

(n— l)+2(n— 1) + 3(n— 1) + ... + w(n— 1) ou

donc la probabilité qu’on pmënera une blanche au second tirage est

DÉFINITIONS

8. On appelle Table de mortalité une table qui contient, sur un grand nombre V d’individus, un million par exemple, nés aune certaine époque, les nombres Vi, Vj, Va... de ceux qui vivent après un an, deux ans, trois ans, etc.

Remarque. Vm et Vn étant les nombres d'individus dgés de m et de n années, la probabilité qu’a un individu âgé de m années d’atteindre ou de dépasser l’âge de n années est -- — ; car sur Vm cas possibles, il y a V» cas favorables.

Vwi

9. LdiVie probable à' un individu est l’âge qu’il a autant de chance d’atteindre que de ne pas atteindre. Ainsi, lorsqu’on a = |, n est la vie probable d’un individu âgé de m années.

• Remarque. En France, la vie probable d'un individu h sa naissance est comprise entre 20 ans et 21 ans ; la vie probable d’une personne de 20 ans est comprise entre 55 ans et 56 ans, et celle d’une personne de 40 ans est environ 63 ans.

10. La vie moyenne est la moyenne (ar.liv. 3, déf.28) des temps pendant lesquels ont vécu un grand nombre de personnes.

11. ‘ Un placement à fonds perdu est un placement par lequel l’emprunteur s’engage à rembourser un capital avec ses intérêts , au moyen d’un certain nombre de paiements effectués à des époques convenues jusqu’à la mort du

^02 COMPLÉMENT o'aIUTHMÉTIQDE.

créancier. Chaque paiement est une rente viagère qu’on suppose ordinairement constante et annuelle.

PROPOSITION XXVIII

Trouver une valeur approchée V de la vie moyenne, en faisant usage d’tine table de mortalité.

V étant le nombre des individus nés à une certaine époque, et V) le nombre de ceux qui vivent encore au bout d’uneannée (déf.8),ilen estmortV— qui ont vécu moyennement la moitié d’une année; de sorte que la somme des temps, pendant lesquels ils ont vécu, est à peu près égale à j(V— Vi). On voit de même que |(Vi— Va), |(Va— Vs) etc., sont respectivement les sommes des temps pendant lesquels ont vécu les individus morts à des âges compris entre un an et deux ans, entre deux ans et trois ans, etc.; donc on a (déf.10)

ï(V-V,)+|(V,-Va) + |(V,-V5)+etc.

, , Vi + Vj+Vs+etc.

ou 0 = 1 + .

PROPOSITION XXIX

Trouver la rente viagère a tïun capital A placé par une personne âgée dv m années.

Concevons que V» personnes Agées de m années aient placé chacune un capital égal à A et aux mêmes conditions que la première. En admettant (déf.8) que Vm+i de ces personnes vivent encore à la fin de la première année, l’emprunteur devra payer aV„,+i au bout de celte année; on voit de même qu’il devra payer aA'm+ 2 , nVm+a, etc., dans