AXIOME
Lorsque deux quantités, susceptibles de varier d'une manière continue (déf. 3), sont telles que l'une augmente et que l'autre diminue suivant une loi déterminée, et de manière que leur différence soit infiniment petite (déf. 2), ces deux quantités ont une limite commune.
PROPOSITION PREMIÈRE
Lorsqu’on multiplie ou quon divise une quantité a infiniment petite par un nombre constant m, le produit am et le quotient sont infiniment petits.
1“ Car pour qu’on ait am<C.h, h étant une quantité donnée aussi petite qu’on voudra, il suffit d’attribuer ti a une valeur moindre que donc a»i a pour limite zéro (déf. 2).
2° Car pour qu’on ait A, il suffit de donner à a une valeur moindre que hm.
PROPOSITION II
La somme a+p+y de plusieurs quantités infiniment petites est infiniment petite.
Car pour qu’on aita-t-P+Tf<A, A étant une quantité donnée aussi petite qu’on voudra, il suffit d’attribuer à chacune des quantités a, p, t une valeur moindre que | A ; donc a+p-t-f a pour limite zéro (déf.2).
Remarque. La différence a — p de deux quantités infiniment petites est aussi infiniment petite ou égale à zéro. Car pour qu’on ait a — p<A, il suffit de donner à o et à p des valeurs moindres que A; et dans le cas particulier où l’on a constamment «=P, la différence «— p=o.
LIVlt£ IV.
PROPOSITION III
Le produit a p y de plusieurs nombres infiniment petits est infiniment petit.
Car pour qu’on ait h étant un nombre donné
aussi petit qu’on voudra, il suffit d'attribuer à chacun des facteurs «, P, ^ une valeur moindre que ph; donc le produit a pour limite zéro.
Corollaire. Toute puissance «’* (T un nombre infiniment petit est infiniment petite. Car o“ est un produit de m facteurs égaux à O. ^
Remarque. Toute racine v'a dCun nombre infiniment petit est infiniment petite. Car pour qu'on ait ’î/'a < A, il suffit dé donner à a une valeur moindre que .
PROPOSITION IV
Deux quantités constantes a et b sont égales, lorsque leur différence peut être supposée aussi petite qu'on voudra.
Car si ces quantités constantes étaient inégales , leur différence serait elle-même une quantité constante qu’il serait absurde de supposer moindre qu’une quantité donnée aussi petite qu’on voudra.
PROPOSITION V
Une quantité variable ne peut avoir plus d'une limite ou , autrement , deux quantités variables x et y dont les valeurs sont constamment égales ont la mêmelimite.
COMPIÆMENT D’aRITHMÉTIOUE.
Soient « et^» les limites dex et y. On a par hypothèse x=y, a=x+a, 6=y +p, a et P étant des quantités infiniment petites (déf. 2). On en déduit a — è=(x+»)— (y+p) = a — P; or la différence «—P est nulle ou infiniment petite (pr.2, rem.); donc a =6 (pr. 4.),
PROPOSITION VI
Deux quantités variables x et y dont la différence est infiniment petite ont la même limite.
Soient a et ô les limites de x et y. On a par hypothèse a—x+a,b=y+^,x — y — a, p, ^ étant des quantités in-
finiment petites. On en déduit a— è=(x— y)+ (a— p) = 7+“— P; or y + a — P est une quantité nulle ou infiniment petite (pr.2); donc a=b (pr. 4).
PROPOSITION VII
Toute quantité constante A, comprise entre deux quantités variables \ et y dont la différence x — y estinfiniment petite, est la limite commune de ces deux quantités.
Supposons qu’on ait x> A>y et .x — y = «, a étant une quantité infiniment petite. On en déduit x — A<x— y — aetA — y<x — y = a; donc A est la limite commune des quantités x et y.
PROPOSITION VIII
Lorsqu’on augmente ou qu’on diminue une quantité variable xld’unc quantité constante m , sa limite a augmente on diminue de cette quantité.
Soit rt— x=«,a étant une quantité infiniment petite. On
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MVKB IV.
aura «±:»rt — (x±w/) = *; donc a±m est la limite de x±m. (déf.2,rem.)
PfiOPOSlTlON IX.
Lorsqu’on muUiplie ou quon divise uné quantité variable x par un nombre constant ui, la limite a de celle quantité est multipliée ou divisée par ce nombre.
Soit a—x= X, a étant une ijuantité inGniment petite.
On aura am — xm = a.m et — — — = — ; or a»i et — sont
m m m tn
des quantités infiniment petites (pr. 1), donc am est limite
de xm et — limite de — . m m
PROPOSITION X
La limite de la somme de plusieurs quantités variables X, y, Z est égale à la somme des limites a, b, c de ces quantités.
Soit a — x — et, b— y — ?, <. — 5 = 7, a, p, 7 étant des quantités in&niraent petites. On aura {a+b + c)—{x+y + z) = a + P + 7 ; or la somme a + p + 7 est inGniment petite (pr. 2) ; donc a + ô + e est la limite de a;+y + s.
Remauoue. On voit de même par l’égalité (n—b]—(x—y) = a — Pque la limite de la différence de deux quantités variables \ et y est égale à la différence a~b de leurs limites.
PROPOSITION XI
La limite du produit de plusieurs nombres variables est égale au produit des limites de tous ces nombres.
COHPLÉUENT d’aRITHMÉTIQUE>
1" Considérons d'abord un produit xy de deui facteurs variables; et soient a et 6 leurs limites respectives. On aura x=a + a, y=&+P, a et P étant inGniment petits. On en déduit .ry=ai»+ap + ôa+aP; or les produits op, »p et la somme aP + 6«+ap sont inGniment petits (pr. 1,2,3); donc ab est la limite deary (déf.2,rem.).
2“ Soient a, b, c les limites de x, y, z. En vertu de ce qui précède, on aura lim. a;ys = lim.a;yx lim.s; or lim.xy = ab etlim.3 = c, donc lim.ajys — abc; et ainsi de suite, quel que soit le nombre des facteurs du produit.
CottOLLAiRE 1. La limite b de la m^““ puissance dun nombre variable % est égale à la puissance de lu limite n de ce nombre. Car x™ étant un produit de m facteurs égaux à x, on a 6 = axaxa... =a'".
Corollaire 2, La limite b de la racine m*>"'® dun nombre variable x est égale à la racine de la limite a de ce nombre. Car x étant la puissance de v'a:, on a a = ô" (cor.l) et, par suite, b = ^a.
PROPOSITION Xll.
La limite c du rapport x : \ de deux quantités variables, non infiniment petites, est égale au rapport a : b de la limite de l’antécédent x à la limite du conséquent y.
Car, en supposant que z soit le rapport variable de x à y, on aura x=yz et, par suite (pr.5etll) a = 6c etc = y.
PROPOSITION XIII
Trouver la limite de la fraction - — - dans laquelle
X est une variable qui a pour limite l'unité.
UVIIE IV,
£n faisant o;=:l dans la fraction proposée, elle prend la forme Mais on a (liv.l,pr.9)
a;-l ic-t
et, par suite,
Or, X étant un nombre variable qui a pour limite Tunité, la différence 1 — x est infiniment petite; donc 2 est la limite de la fraction
En général, pour trouver la limite cC une fraction variable qui prend la forme y en vertu d’une seule hypothèse, on met en évidence dans les deux termes un facteur commun qui devient nul par cette hypothèse, on supprime ce facteur, puis on fait la même hypothèse dans le résultat ainsi obtenu.
Remarque 1. On dit que cette limite 2 est la maie valeur de la fraction proposée, pour x = l. Mais, en général, l’expression est un signe d’indétermination ; car il existe une inGnité de nombres qui, multipliés par le diviseur zéro, reproduisent le dividende zéro.
Remarque 2. Si dans la fraction on suppose que le nombre x est inüniment petit, le dénominateur sera positif et infiniment petit. Or, à mesure que x* diminue, la fraction augmente, et on peut prendre x assez grand pour que excède un nombre donné aussi grand qu’on voudra ; c’est pourquoi on dit que la fraction est infiniment grande pour x = 0. Elle prend alors la forme qu’on remplace aussi par le signe oo qui s’énonce X infini positif ou pltis l’infini. La fraction — ^ conduit de même à l’expression — y qu’on remplace aussi par le signe — oo qui s’énonce Yinfini négatif ou moins l’infini. Enfin, lorsqu’on suppose le dénominateur x de la fraction infiniment grand , la fraction est infiniment petite, et a pour limite zéro, ce qu’on exprime en écrivant ± — = 0.
COMPLÉMENT d’aUITHMÉTIQUE.
PROPOSITION XIV
a et b désignant les valeurs du nombre incommensurable A , approchées l'une par défaut et Vautre par excès à moins de si Von fait croître le nombre n indéfiniment, les puissances variables a” et b“ auront une limite commune A,
En effet, on a par hypothèse a™<C.h‘<Cb’” et * = « + »
d’où l’on déduit (liv. 3, pr.8j
bm — a”‘= a’"-*+ ' ■-^ a’”-i‘+etc.+ — ;
or on peut prendre n assez grand pour que chacun des nombres qui contiennent n en dénominateur soit aussi petit qu’on voudra ; donc la somme ù™ —a" de ces nombres est infiniment petite (pr. 2) ; donc À est la limite commune des puissances variables a”> et b’” (pr.7).
Remarque 1. La différence b — a étant égale à —, si l’on désigne par t une longueur arbitraire, on aura Ib—la =— . Or, 1e nombre n étant aussi grand qu’on voudra , la différence — des produits la, U> variables avec n est infiniment petite ; donc il existe entre ces produits une iongueuj' constante L qui est leur limite commune (ax.). Gela étant, on dit que le rapport incommensurable de L à / est égal à ✓Â, CG qui signifie que L est la limite du produit qu'on obtient en multipliant 1 par ta valeur a ou b de^rS. approchée par défaut ou par excès à moins de n étant un nombre entier qui augmente indéfiniment. On exprime encore la même chose en d’autres termes , lorsqu’on dit que v/A ou T est la limite commune des nombres variables a et b,
qui sont les valeurs approchées de \/A et de -j-à moins de—.
Remarque 2. En substituant à l une autre longueur /',
MVRE IV.
on verrait de mCme que les produits variables l'a, l'b ont une limite commune V dont le rapport à V est aussi égal à v/A (rcm.l); ce qui s'accorde avec la dédnition h \ car, en supposant que a= on aura ô= ^X-^<L< et ^'x-^< L'<^'x-^; d’où il résulte que L contient une partie aliquote quelconque de / autant de fois
que V contient la même partie aliquote de V.
Remarque 3. En générai , toute expression qui contient plusieurs nombres on rapports incommensurables a, p, •r, etc., est égale (rem.l) au rapport (L:?) de deux longueurs. Car on pourra toujours remplacer les nombres a, p; 7, etc., succesivement par des nombres commensurables a!, P', Tf', etc., a", P", 7 ", etc., tels qu’on obtienne deux résultats variables H et r dont la différence soit aussi petite qu’on voudra; et, par conséquent, une longueur L sera la limite commune des produits variables /R, Ir, l étant une longueur constante et arbitraire. On dit alors que Texpression proposée ou le rapport (L:/) est la limite commune des nombres variables K et r.
PROPOSITION XV
Toutes les égalités relatives à des nombres cojnmensurables quelconques s'étendent aux nombres incommensurables.
Proposons-nous, par exemple, de démontrer qu’un produit \/2xi/3 de deux nombres incommensurables (pr. 14, rem. 3) ne change pas <je valeur, lorsqu’on intervertit l’ordre des facteurs ; c’est-à-dire que
En désignant par a et à les valeurs approchées de V/2 et 1^3 à moins de n étant aussi grand qu’on voudra , on aura ab = ba; ces produits variables avec n étant cons-
146 COMPLÉMENT D’ARITIIMÉTigUE.
tamment égaux, leurs limites sont égales (pr. 5); or 1/2 X t/3 est la limite du produit a b, et i/3 x l/2 est
celle du produit ba (pr. 14, rem. 3); donc l/2 x »/3 = v^3x ^2.
PROPOSITION XVI
I^s puissances successives d’un nombre A, plus grand que [‘unité, sont de plus en plus grandes; et on peut prendre l’exposant m assez grand pour qu’on ait la relation A™ > B, B étant un nombre donné, aussi grand qu’on voudra.
1° En posant A=l + a, on a A’"'*'‘=A'"x(l + a)=A'” +
«A’";doncA'"+'>A’".
2" On a (liv.3, pr. 8) (l + a)"'=l + »Ma+etc.,et, par suite, (1 + «)”’> 1 +m« ou a”> 1 +wia; donc toute valeur entière de m, qui rendra l + donnera à plus forte raison A”>B. Mais la relation l + »ia>B donne
