LIVRE IV

2“ L’inégalité «'"<é peut s’écrire mais, n étant

moindre que l’unité ,-^est plus grand que l'unité ; donc toute valeur entière de m, plus grande que ' ■

, rendra v (pr. 16) ou a™ <6.

PROPOSITION XVIIl.

Im somme (les termes d'une progression géométrique H a aq ; aq^ ;aq’... indéfiniment décroissante a une limite qui est égale au premier terme a de la progression, divisé par l'excès de l’unité sur la raison.

Car on a généralement s ■

ou s=-

aq

(arJiv.5,pr. 35, rem. 2)

, -, ou enfin •5 — -tV=t^x 9” ’> ^^9

étant moindre que l’unité, on peut prendre n assez grand

pour que q” et, par suite, x q” soit moindre qu’un

nombre positif aussi petit qu’on voudra (pr. 17), donc

est la limite de s (déf. 1).

On peut faire usage de ce principe pour trouver la fraction génératrice d’un nombre décimal périodique 0.3G8368368...; car cette fraction étant la limite de la

somme variable 0,368 + 0,000368 + 0,000000368.... des termes d’une progression géométrique dont la raison est 0,001 , on a

PROPOSITION

Les racines successives d'un nombre A , plus grand que funité, sont de plus en plus petites; et on peut prendre l 'indice ni assez grand pour quon a/il la relation +^,'î étant un nombre positif aussi petit

qu’on voudra

COMPLÉMENT D’aRITHMÉTIQOE.

tn m+i

l'i En posant l/"Â= “ et J^Â = P, on a a" = A,p™+' = A et, par suite, «'" = &'"+• = pm p. étant la racine ( m + 1 d’un nombre A > 1 , est elle-même plus grande

que l’unité, donc a»>i>pn>; d’où l’on déduit a>P ou

2» L’inégalité l/Â<l+ J peut s’écrire (1+S)™>A; or 1 est un nombre plus grand que l’unité, donc toute valeur entière de m, plus grande que , rendra (1 + ^)"*>A

tn O

(pr. 16) ou l^Â<l+î.

PROPOSITION XX

Les racines successives d’un nombre a moindre que l unité sont de plus en plus grandes; et on peut prendre l indice m assez grand pour qu’on ait la relation

in

5 étant un nombre positif aussi petit

qu’on voudra.

m ni+l

1“ En posant!^ o=« et l^o = P, on a «,"1 = 0 , =a

et, par suite, a™ = p">+« =pm x P; or P, étant la racine (to + 1)®'"® d’un nombre a<t, est elle-même moindre que

l’unité, donc d’où l’on déduit a<P ou

2 ° L’inégalité ^ o>l— ^ peut s’écrire (1 — ^)’»<a,- or 1—5 est un nombre plus petit que l’unité, donc toute valeur entière de m , plus grande que -! 1

, rendra (1— ^)'"<a (pr.l7) ou L^a>l— 5.