I. On appelle fraction continue une expression de la forme
c+etc.
dans laquelle on suppose ordinairement les nombres »», n, p, etc., égaux à Tunité et les nombi es a, b, c, etc., entiers et positifs. Telle est, par exemple, l'expression
qui se réduit à en effectuant les opérations indiquées. Chacun des nombres a, b, c, etc., se nomme quotient entier.
2. La fraction qu’on obtient, en s’arrêtant à un quolipnt entier et en effectuant les o])érations indiquées, s’appelle réduite. Ainsi les réduites successives de la fraction continue
c + etc.
sont
a aô + 1 abc + c + a 1 ’ b ’ bc+\
3. Une fcacliou continue est périodique, lorsqu'un ou plusieurs quotients entiers se reproduisent dans le même ordi'e et indéfliiiment. Telle est la fraction
420 cnMPi.ÉMENT d'arithmétique.
4 + etc.
4. Les quotients entiers 2 et 4 qui se reproduisent dans le même ordre et indéfiniment forment la période de la fraction continue.
5. Une fraction continue est périodique simple om périodique mixte, suivant que la période commence ou non au premier quotient entier.
PROPOSITION PREMIÈRE
Convertir une fraction ordinaire tinue ; et réciproquement.
en fraction con-
1° Désignant par a et G le quotient et le reste de la division de A par B, on a
Désignant par 6 et D le quotient et le reste de la division de B par G, on a
on aurait de môme
et ainsi de suite : or, en opérant sur les nombres A et B comme pour trouver leur plus grand commun diviseur, on est certain de parvenir à deux restes consécutifs, D et E par
LIVHE V.
exemple, tels que la division du premier par le second donnera un quotient entier d et un reste nul ; donc on aura
En général, pour convertir une fraction ordinaire en fraction continue, on détermine les quotients entiers a, b, C, etc., en oprrnnt comme pour trouver le plus grand commun diviseur des deux termes de la fraction, et divisant ([abord le numérateur par le dénominateur.
2“ Réciproquement, pour convertir la fraction continue,
en fraction ordinaire, il suGt d'ajouter à c , ce qui donne dont l’inverse ajouté à b donne dont
l’inverse , i ajouté à a donne la fraction demandée
obed ttb + ad * cd + i bed + b + d
Corollaire. Tout nombre commensurable peut être exprimé par une fraction continue qui se termine; et réciproquement, toute fraction continue qui se termine est égale à un nombre commensurable.
PROPOSITION II
Tout nombre incommensurable de la forme |/o*±l, dans lequel a est un nombre entier, peut être exprimé par une fraction continue périodique.
1° a étant le plus grand nombre entier contenu dans 1/ a*-|-l, posons
COMPLÉMENT d’aRITHHÉTIQUE.
(1) ka“ + l = fl + -,
y désignant un nombre plus grand que l’unité. On en déduit
V' a^+l — O et y = ■ .
Multipliant les deux termes de la valeur de y par 1/ a®+l +a, et observant qu’on a généralement (a +6) X (a— 6) = a*— 6* (liv.l,pr,9), il vient
y = ^ o’ + ï+ a = 2ffl+i.
Remplaçant y par sa valeur dans l’égalité (1), dans celle qui en résulte , et ainsi de suite, on a
2a + etc.
2" 0 — 1 étant le plus grand nombre entier contenu dans t^o*— 1, posons
y désignant un nombre plus grand que l’unité. On en déduit
— = y 0*— 1 — (o — 1) et y = - ^ .
Multipliant les deux termes de la valeur de y par 1 + {«—!)» il vient (liv.l,pr.9)
ou
Remplaçant y par sa valeur dans l’égalité (2), dans celle qui en résulte, et ainsi 4e suite, on a
