ek

Remarque. En général, pour réduire un nombre quelconque X en fraction continue, on cherche le plus grand nombre entier a contenu dans x , et l’on pose x=a+-j, y étant plus grand que l’unité ; on cherche le plus grand nombre entier b contenu dans y, et l’on pose y=b+-^, 2 étant plus grand que l’unité, et ainsi de suite; ce qui conduit à la fraction continue

c + etc.,

qui se termine ou non suivant que x est commensurable ou incommensurable (pr. 1, cor.).

PROPOSITION III

La valeur d’une fraction continue est comprise entre deux réduites consécutives quelconques.

Désignant par x la valeur de la fraction continue

e+etc ,

424 COMPLÉMENT d'aUITHMÉTIQUE.

on voit immédiatement que toute première réduite a est moindre que x ou trop petite ; donc b est un dénominateur trop petit et, par suite, toute seconde réduite a+ -^est trop grande ; donc 6 + -^ est un dénominateur trop grand et, par suite, toute troisième réduite

est trop petite ; donc

est un dénominateur trop petit et, par suite, toute quatrième réduite

aA I

est trop grande, et ainsi de suite. »

Corollaire. Toutes les réduites de rang impair sont plus petites et toutes les réduites de rang pair plus grandes que la fraction continue.

PROPOSITION IV

Les réduites successives de rang impair augmentent, et celles de rang pair diminuent.

1“ La troisième réduite (pr. 3) est évidemment plus grande que la première. Mais la troisième réduite est moindre que X parce que le dénominateur c est trop petit ; ilonc on augmente cette réduite en ajoutant à c le nombre

ce qui donne la cinquième réduite. On voit de même que la

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UVHE V.

septième réduite est plus grande que la cinquième, et ainsi de suite.

2“ La deuxième réduite est plus grande que x (pr.3), parce que le dénominateur 6 est trop petit ; donc on diminue cette réduite en ajoutant à 6 le nombre ce qui donne la quatrième réduite. On voit de même que la sixième rédùite est moindre que la quatrième, et ainsi de suite.

PEOPOSITION V.

Former les réduites successives d'une fraction continue.

On voit immédiatement que la troisième réduite (déf. 2) se déduit des deux premières-^, en multipliant les deux termes de la seconde par le quotient entier f correspondant à la troisième et en augmentant les produits ainsi obtenus respectivement des deux termes a et 1 de la première. Cela étant, pour démontrer que cette règle est applicable à deux réduites consécutives quelconques, il suffit de prouver que si elle convient à trois réduites consécutives, elle convient aussi aux deux dernières et à la suivante. Soit donc

JL * JL J

p, . Q/. -gr

quatre réduites consécutives, r et « les quotients entiers correspondants à la troisième et à la quatrième. On a, par hypothèse,

R = Q,-+P, R'=Q'r+P', et il s'agit de démontrer que

S Rs+0

S' “ R's-hQ'"

Or, pour déduire la réduite -gr de il suffit d’y remplacer r par donc on a

S Q(^+T^+P (Qr + P)« + Q Rs+Q ~S' “ Q/(, + J.) + p/ “Tô';tp> + q'“'k'*+“o' '

126 COMPLÉMENT D’aRITMMÉTIQUE.

On en conclut cette règle générale : étant donnés les quotients entiers a, b,c, etc., d'une fraction continue, pour former les réduites successives de cette fraction, on écrit d'abord les deux premières réduites et, â partir

de la troisième , on forme chaque réduite des deux précédentes, en multipliant les deux termes de la seconde par le quotient entier correspondant à Celle qu'on veut obtenir, et en ajoutant aux produits obtenus, respectivement, les deux termes de la première.

Corollaire. Les numérateurs et les dénominateurs des réduites successives sont des nombres croissants, à l’exception du troisième numérateur abc + c + a qui est égal au second dans le cas particulier où a = 0 et c == 1, et du second dénominateur b qui peut être égal au premier.

PROPOSITION VI

La différence de deux réduites consécutives est égale O i unité divisée par le produit de leurs dénominateurs.

On reconnaît immédiatement que ce principe est applicable aux deux premières réduites ^ dont la différence est donc pour faire voir qu’il convient à deux réduites consécutives quelconques, il suffit de prouver que s’il estapplicable à deux réduites consécutives^, il convient aussi à la réduite et à la réduite suivante Or on a (pr. 5)

R Qr-hP R' “ QV-t-P' ’

donc R Q Qr+P Q PQ^-QF •

R' CK Q'r + P' Q' CKR' ■

Mais, par hypothèse, A = ±

donc PQ' — QP' = ± 1

et =